東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

与えられた式より $A=aP+(a+1)Q$ である。左から $P+Q$ を掛けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (P+Q)A}& {\displaystyle =(P+Q)\{aP+(a+1)Q\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a(P^2+QP)+(a+1)(PQ+Q^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =aP+(a+1)Q}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A}\end{array}$$である。よって $(P+Q)A=A$ が成り立つ。

(2)

いま$$A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 1& a+1\end{array}\right)$$であり，$a>0$ だから $\det A=a(a+1)>0$ である。したがって $A$ は逆行列をもつ。

(1) より $(P+Q)A=A$ であるから，右から $A^{-1}$ を掛けて $P+Q=I$ を得る。これを $A=aP+(a+1)Q$ に代入すると $A=a(P+Q)+Q=aI+Q$ である。よって$$Q=A-aI=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$であり，$$P=I-Q=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\end{array}\right)$$である。

実際に $$P^2=P,Q^2=Q,PQ=QP=O$$ が直接確認できるので，求める行列は$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$である。

(3)

(2) で得た $P,Q$ は $a$ によらない。したがって$$A_k=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 1& k+1\end{array}\right)=kP+(k+1)Q$$と表せる。

また $$P^2=P,Q^2=Q,PQ=QP=O$$ であるから，積を展開したとき，$P$ だけを選ぶ項と $Q$ だけを選ぶ項以外はすべて $O$ になる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_n{A}_{n-1}\cdots A_2}& {\displaystyle =(nP+(n+1)Q)((n-1)P+nQ)\cdots (2P+3Q)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n!P+{\displaystyle \frac{(n+1)!}{2}}Q}\end{array}$$である。

これに $P,Q$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_n{A}_{n-1}\cdots A_2}& {\displaystyle =n!\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{(n+1)!}{2}}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}n!& 0\\ {\displaystyle \frac{(n-1)n!}{2}}& {\displaystyle \frac{(n+1)!}{2}}\end{array}\right)}\end{array}$$である。

$P,Q$ は互いを消す補完成分で、積では同じ成分だけが残る。

(1) (2)は解法1と同様に可逆性から $P,Q$ を決める。(3)では射影分解を使わず、下三角行列の積の対角成分と左下成分を漸化式で追う。

(1) 解法1と同様に、与式へ左から $P+Q$ を掛けて$$(P+Q)A=A$$を得る。

(2) $A$ は可逆なので $P+Q=I$ である。したがって$$Q=A-aI=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right),P=I-Q=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3) $$B_k=A_k{A}_{k-1}\cdots A_2$$ とおく。下三角行列の積なので$$B_k=\left(\begin{array}{cc}k!& 0\\ y_k& {\displaystyle \frac{(k+1)!}{2}}\end{array}\right)$$と書ける。実際、対角成分は各対角成分の積である。

$B_k=A_k{B}_{k-1}$ の左下成分を比較すると$$y_k=(k-1)!+(k+1)y_{k-1},y_2=1.$$ここで$$y_{k-1}={\displaystyle \frac{(k-2)(k-1)!}{2}}$$と仮定すれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_k}& {\displaystyle =(k-1)!+(k+1){\displaystyle \frac{(k-2)(k-1)!}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(k-1)k!}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$k=2$ でも成り立つので、帰納法により$$y_k={\displaystyle \frac{(k-1)k!}{2}}\mathrm{.}$$ゆえに$$A_n{A}_{n-1}\cdots A_2=\left(\begin{array}{cc}n!& 0\\ {\displaystyle \frac{(n-1)n!}{2}}& {\displaystyle \frac{(n+1)!}{2}}\end{array}\right)$$である。