東京大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$d=a^2+b^2,D=ac-b^2$$とおく。$d>0$ であり、直接計算すると$$B={\displaystyle \frac{1}{d}}\left(\begin{array}{cc}{a}^3+2a{b}^2+b^{2}c& bD\\ bD& aD\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって $B$ は $\left(\begin{array}{cc}r& s\\ s& t\end{array}\right)$ の形である。また成分を整理すると$$r+t=a+c,rt-s^2=ac-b^2\mathrm{.}$$(2) (1)の成分表示から$$r-a={\displaystyle \frac{b^2(a+c)}{a^2+b^2}}$$である。一方、$r+t=a+c,rt-s^2=ac-b^2$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r^2+s^2-(a^2+b^2)}& {\displaystyle =(a+c)(r-a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b^2(a+c{)}^2}{a^2+b^2}}\geqq 0.}\end{array}$$よって主張が成り立つ。

(3)

(ア) (1)より全ての $n$ で$$a_n+c_n=a_0+c_0=3,a_n{c}_n-b_n^2=a_0{c}_0-b_0^2=1$$である。また(2)から$$a_n^2+b_n^2\geqq a_{n-1}^2+b_{n-1}^2\geqq a_0^2+b_0^2=2.$$(1)の非対角成分の式と $$a_{n-1}{c}_{n-1}-b_{n-1}^2=1$$ から$$b_n={\displaystyle \frac{b_{n-1}}{a_{n-1}^2+b_{n-1}^2}}$$である。$b_0=1>0$ なので $b_n>0$ であり、さらに$$0<b_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_{n-1}$$となる。よって $0<b_n\leqq 2^{-n}$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0.$$(イ) (1)の対角成分から$$a_n-a_{n-1}={\displaystyle \frac{b_{n-1}^2(a_{n-1}+c_{n-1})}{a_{n-1}^2+b_{n-1}^2}}={\displaystyle \frac{3b_{n-1}^2}{a_{n-1}^2+b_{n-1}^2}}\geqq 0.$$したがって $a_n$ は増加する。また $a_n{c}_n=1+b_n^2>0$ かつ $a_n+c_n=3$ なので $0<a_n<3$ であり、$a_n$ は収束する。その極限を $\alpha$ とすると、$c_n=3-a_n$ と(ア)を保存式へ代入して極限を取ることにより$$\alpha (3-\alpha )=1$$を得る。$a_n\geqq a_0=1$ だから$$\alpha ={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n={\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$