東京大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $d=a-b$ とおく。初めは $d=0$ である。操作の規則から、差 $d$ の変化だけを見れば十分である。 $d=0$、すなわち $a=b$ のとき、表が出れば $A$ だけが1進むので $d=1$ となり、裏が出れば $B$ だけが1進むので $d=-1$ となる。したがって $d=0$ から次に $d=0$ へ進むことはない。 $d=1$、すなわち $A$ が $B$ より1だけ右にあるとき、表なら $A,B$ がともに1進むので $d=1$ のままであり、裏なら $B$ だけが1進むので $d=0$ となる。

同様に $d=-1$ のときは、裏なら $d=-1$ のままで、表なら $d=0$ となる。よって $d\mathrm{\ne }0$ の場合からは、表裏2通りのうちちょうど1通りで $d=0$ に戻る。 $n$ 回後の出方は全部で $2^n$ 通りあり、そのうち $d=0$ であるものが $X_n$ 通りである。したがって $d\mathrm{\ne }0$ であるものは $2^n-X_n$ 通りであり、それぞれから次の1回で $d=0$ になる出方は1通りずつである。ゆえに $${\displaystyle X_{n+1}=2^n-X_n}$$ である。

(2) $1$ 回後には $d=1$ または $d=-1$ なので $X_1=0$ である。

(1) の漸化式 $X_{n+1}=2^n-X_n$ に対して、$2^n\mathrm{/}3$ は特解である。実際、$${\displaystyle \frac{2^{n+1}}{3}}=2^n-{\displaystyle \frac{2^n}{3}}$$ である。そこで $$Y_n=X_n-{\displaystyle \frac{2^n}{3}}$$ とおくと$$Y_{n+1}=X_{n+1}-{\displaystyle \frac{2^{n+1}}{3}}=(2^n-X_n)-{\displaystyle \frac{2^{n+1}}{3}}=-(X_n-{\displaystyle \frac{2^n}{3}})=-Y_n$$となる。

また $$Y_1=X_1-{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ であるから $$Y_n={\displaystyle \frac{2(-1{)}^n}{3}}$$ である。したがって $${\displaystyle X_n={\displaystyle \frac{2^n+2(-1{)}^n}{3}}}$$ である。

1段の漸化式から2段おきの漸化式を作る。
偶数番と奇数番を別々の等比数列の和として計算し、
最後に1つの式へまとめる。

(1)

差 $a-b$ は常に $-1,0,1$ のいずれかである。
差が0なら次の試行後は必ず $\pm 1$ となり、
差が $\pm 1$ なら表裏の一方だけで0へ戻る。
したがって$$X_{n+1}=2^n-X_n\mathrm{.}$$(2)

上式をもう1回用いると$$X_{n+2}=2^{n+1}-X_{n+1}=2^n+X_n\mathrm{.}$$$X_0=1,X_1=0$ だから、$m\geqq 0$ に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X_{2m}}& {\displaystyle =1+\sum _{j=0}^{m-1}{2}^{2j}={\displaystyle \frac{4^m+2}{3}},}\\ {\displaystyle X_{2m+1}}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{m-1}{2}^{2j+1}={\displaystyle \frac{2(4^m-1)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$この2式は$$X_n={\displaystyle \frac{2^n+2(-1{)}^n}{3}}$$とまとめられる。