東京大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

座標を$$A=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0,0),B=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0,0)$$とおく。このとき $AB=\sqrt{3}$ である。

点 $C,D$ はともに $A,B$ から距離2にあるので、$AB$ の垂直二等分平面、すなわち平面 $x=0$ 上にある。さらに $CD=2$ であるから、$C,D$ を対称に $$C=(0,1,{\displaystyle \frac{3}{2}}),D=(0,-1,{\displaystyle \frac{3}{2}})$$ と置ける。実際、$$A{C}^2=B{C}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}+1+{\displaystyle \frac{9}{4}}=4,$$ かつ $CD=2$ であり、$D$ についても同じである。

外接球の中心を $O$ とする。$A,B$ から等距離で、かつ $C,D$ からも等距離でなければならないので、対称性から $O=(0,0,z)$ とおける。条件 $OA=OC$ より $${\displaystyle \frac{3}{4}}+z^2=1+{(z-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2$$ である。右辺を展開すると $$1+z^2-3z+{\displaystyle \frac{9}{4}}=z^2-3z+{\displaystyle \frac{13}{4}}$$ だから $${\displaystyle \frac{3}{4}}=z^2-3z+{\displaystyle \frac{13}{4}}-z^2$$ すなわち $3z={\displaystyle \frac{5}{2}}$ となる。よって $z={\displaystyle \frac{5}{6}}$ である。

したがって半径 $r$ は$$r^2=O{A}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}+{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^2={\displaystyle \frac{27}{36}}+{\displaystyle \frac{25}{36}}={\displaystyle \frac{13}{9}}$$を満たす。半径は正なので $${\displaystyle r={\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{3}}}$$ である。

辺 $AB,CD$ の中点を $M,N$ とする。
対称性により外接球の中心は直線 $MN$ 上にある。
直角三角形から $MN$ を求め、中心から2種類の辺端点までの距離を等置する。

辺 $AB,CD$ の中点をそれぞれ $M,N$ とする。
$C,D$ はともに $A,B$ から等距離にあるので、
$C,D$ は $AB$ の垂直二等分面上にあり$$MN\perp AB\mathrm{.}$$また $NC=ND=1$ である。直角三角形 $AMC$ から$$M{C}^2=A{C}^2-A{M}^2=4-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{13}{4}}\mathrm{.}$$さらに直角三角形 $MNC$ から$$M{N}^2=M{C}^2-N{C}^2={\displaystyle \frac{13}{4}}-1={\displaystyle \frac{9}{4}},$$したがって $MN=3\mathrm{/}2$ である。

外接球の中心 $O$ は、$A,B$ を交換する対称性と
$C,D$ を交換する対称性から直線 $MN$ 上にある。
$OM=s$ とおくと $ON=3\mathrm{/}2-s$ であり、$$O{A}^2=s^2+{\displaystyle \frac{3}{4}},O{C}^2={({\displaystyle \frac{3}{2}}-s)}^2+1.$$$OA=OC$ より$$s^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}={({\displaystyle \frac{3}{2}}-s)}^2+1,$$したがって $s=5\mathrm{/}6$ である。よって$$r^2=O{A}^2={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{13}{9}}\mathrm{.}$$半径は正なので$$r={\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{3}}\mathrm{.}$$