東京大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

加法定理より $$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,$$ $$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$$ である。したがって与えられた等式の右辺は、どのような連続関数 $f$ に対しても $\sin x$ と $\cos x$ の一次結合になる。よって解が存在するなら $$f(x)=\alpha \sin x+\beta \cos x$$ と書ける。

このとき$${\int }_0^{2\pi }\sin yf(y)dy=\alpha {\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}ydy+\beta {\int }_0^{2\pi }\sin y\cos ydy=\pi \alpha$$であり、同様に $${\int }_0^{2\pi }\cos yf(y)dy=\pi \beta$$ である。

これをもとの等式に代入すると、$\sin x$ の係数は ${\displaystyle \frac{a}{2}}\beta +{\displaystyle \frac{b}{2}}\alpha +1$ であり、$\cos x$ の係数は ${\displaystyle \frac{a}{2}}\alpha +{\displaystyle \frac{b}{2}}\beta +1$ である。したがって係数比較により$$\alpha ={\displaystyle \frac{a}{2}}\beta +{\displaystyle \frac{b}{2}}\alpha +1,\beta ={\displaystyle \frac{a}{2}}\alpha +{\displaystyle \frac{b}{2}}\beta +1$$を得る。両式を整理して2倍すると $(2-b)\alpha -a\beta =2,$ $-a\alpha +(2-b)\beta =2$ である。

この2式を加えると $(2-a-b)(\alpha +\beta )=4$ であり、引くと $(2+a-b)(\alpha -\beta )=0$ である。

ここで $2-a-b=0$ なら、上の和の式が $0=4$ となり、解は存在しない。また $2+a-b=0$ のときは、差 $\alpha -\beta$ が一意に決まらない。ただし同時に $2-a-b=0$ となる場合はすでに解が存在しない場合に含まれる。したがって、関数 $f$ がただ一つ定まるための条件は $2-a-b\mathrm{\ne }0,2+a-b\mathrm{\ne }0$ である。すなわち ${\displaystyle b\mathrm{\ne }2-a,b\mathrm{\ne }2+a}$ である。

この条件のもとでは $$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{4}{2-a-b}},\alpha -\beta =0$$ であるから $$\alpha =\beta ={\displaystyle \frac{2}{2-a-b}}$$ となる。よって求める関数は $${\displaystyle f(x)={\displaystyle \frac{2}{2-a-b}}(\sin x+\cos x)}$$ である。

右辺が $\sin x,\cos x$ の一次結合になることを確認し、
$\sin x+\cos x$ と $\sin x-\cos x$ の2方向に分解する。
各方向の倍率が1でないことが一意性条件になる。

加法定理から、積分を含む部分は任意の $f$ に対して
$\sin x,\cos x$ の一次結合になる。したがって解は$$f(x)=\alpha \sin x+\beta \cos x$$の形に限られる。$$u=\alpha +\beta ,v=\alpha -\beta$$とおく。積分作用は $\sin x+\cos x$ 方向を
$(a+b)\mathrm{/}2$ 倍し、$\sin x-\cos x$ 方向を
$(b-a)\mathrm{/}2$ 倍する。また非斉次項は $\sin x+\cos x$ である。
よって与式は$$(1-{\displaystyle \frac{a+b}{2}})u=2,(1-{\displaystyle \frac{b-a}{2}})v=0$$と同値である。

第1の係数が0なら $0=2$ となって解がなく、
第2の係数が0なら $v$ が自由になって解が一意でない。
したがって一意に定まる条件は$$a+b\mathrm{\ne }2,b-a\mathrm{\ne }2,$$すなわち$$b\mathrm{\ne }2-a,b\mathrm{\ne }2+a\mathrm{.}$$このとき$$u={\displaystyle \frac{4}{2-a-b}},v=0$$だから $\alpha =\beta =2\mathrm{/}(2-a-b)$ であり、$$f(x)={\displaystyle \frac{2}{2-a-b}}(\sin x+\cos x)\mathrm{.}$$