東京大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

点 $P$ を $P=(x,y,z)$ とし、$$\rho =OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ とおく。Pは球面Sの外側にあるので $\rho >1$ である。

空間内の点を $(X,Y,Z)$ と書く。球面Sは原点中心、半径1なので $X^2+Y^2+Z^2=1$ である。また、$OP$ を直径とする球面は $$\overrightarrow{XO}\cdot \overrightarrow{XP}=0$$ を満たす点全体であるから $X^2+Y^2+Z^2-xX-yY-zZ=0$ である。

2つの球面の交わりでは、上の2式が同時に成り立つ。差を取ると $xX+yY+zZ=1$ である。したがって、交円を含む平面Lは $L:xX+yY+zZ=1$ である。

点Pから平面Lまでの距離は $$PQ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{x}^2+y^2+z^2-1\mathrm{\mid }}{\rho }}$$ である。$\rho >1$ なので分子は正であり $$PQ={\displaystyle \frac{x^2+y^2+z^2-1}{\rho }}$$ である。また $A=(0,0,-1)$ からLまでの距離は $$AR={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z(-1)-1\mathrm{\mid }}{\rho }}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }}{\rho }}$$ である。よって条件 $PQ\leqq AR$ は $$x^2+y^2+z^2-1\leqq \mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }$$ である。

もし $z<-1$ なら、右辺は $-(z+1)$ なので $x^2+y^2+z^2-1\leqq -z-1$ すなわち $x^2+y^2+z^2+z\leqq 0$ である。これは $$x^2+y^2+{(z+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ を意味するが、この球では $-1\leqq z\leqq 0$ となるため、$z<-1$ と両立しない。

したがって $z\geqq -1$ としてよく、このとき $\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }=z+1$ である。条件は $x^2+y^2+z^2-1\leqq z+1$ すなわち $$x^2+y^2+{(z-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{9}{4}}$$ である。

以上より、点Pの動く範囲Vは$${\displaystyle x^2+y^2+z^2>1,x^2+y^2+{(z-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{9}{4}}}$$である。これは、中心 $(0,0,1\mathrm{/}2)$、半径 $3\mathrm{/}2$ の球の内部から、原点中心半径1の球面Sの内側と表面を除いた範囲である。

中心間の距離は $1\mathrm{/}2$ であり、半径の差は ${\displaystyle \frac{3}{2}}-1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって大きい球は単位球を内部に含み、点Aで内接している。よってVの体積は境界の有無に影響されず $${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi ={\displaystyle \frac{19\pi }{6}}$$ である。さらに $\pi <22\mathrm{/}7$ を用いると $${\displaystyle \frac{19\pi }{6}}<{\displaystyle \frac{19}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{22}{7}}={\displaystyle \frac{209}{21}}<10$$ である。したがってVの体積は10より小さい。

内接する2球の断面

位置ベクトルを用いて2球の交円の平面を出す。距離条件を絶対値の符号で分け、得られる2球の包含関係から体積を直接引き算する。

点 $P$ の位置ベクトルを $\mathit{p}=(x,y,z)$、空間内の点を $\mathit{X}$ とする。2球面は$$\mathrm{\mid }\mathit{X}{\mathrm{\mid }}^2=1,\mathrm{\mid }\mathit{X}{\mathrm{\mid }}^2-\mathit{p}\cdot \mathit{X}=0$$だから交円の平面は$$L:\mathit{p}\cdot \mathit{X}=1.$$$\rho =\mathrm{\mid }\mathit{p}\mathrm{\mid }>1$ とすれば$$PQ={\displaystyle \frac{{\rho }^2-1}{\rho }},AR={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }}{\rho }}\mathrm{.}$$従って$${\rho }^2-1\leqq \mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$z<-1$ の場合は$$x^2+y^2+{(z+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$となり $z<-1$ と両立しない。よって $z\geqq -1$ であり、$$x^2+y^2+{(z-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq {\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{.}$$従って $V$ は中心 $(0,0,1\mathrm{/}2)$、半径 $3\mathrm{/}2$ の球から単位球を除いた部分である。両球は $A$ で内接するので$$\mathrm{Vol}(V)={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^3-1\}={\displaystyle \frac{19\pi }{6}}<10.$$