東京大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

座標を $$B=(-1,0),C=(1,0),A=(0,1)$$ とおく。このとき三角形の3辺は $$y=0,y=1-x,y=1+x$$ である。

楕円の一つの軸が $BC$ に平行であるから、楕円の軸は $x$ 軸、$y$ 軸に平行である。中心を $(u,q)$、横半径を $p$、縦半径を $q$ とおく。底辺 $y=0$ に接するので、中心の $y$ 座標は縦半径に等しい。したがって楕円は $${\displaystyle \frac{(x-u{)}^2}{p^2}}+{\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{q^2}}=1$$ と書ける。

直線 $x+y-1=0$ がこの楕円に接する条件は $(u+q-1{)}^2=p^2+q^2$ である。同様に、直線 $-x+y-1=0$ が接する条件は $(-u+q-1{)}^2=p^2+q^2$ である。両式の右辺は等しいから $(u+q-1{)}^2=(-u+q-1{)}^2$ である。もし $q=1$ なら楕円は三角形内に収まらないので、ここから $u=0$ を得る。つまり中心は対称軸上にある。

よって楕円は $${\displaystyle \frac{x^2}{p^2}}+{\displaystyle \frac{(y-q{)}^2}{q^2}}=1$$ であり、斜辺 $y=1-x$ への接線条件は $(q-1{)}^2=p^2+q^2$ である。したがって $p^2=(1-q{)}^2-q^2=1-2q$ となる。$p^2>0$ より $0<q<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

楕円の面積を $S$ とすると $$S=\pi pq=\pi q\sqrt{1-2q}$$ である。$S$ を最大にするには $S^2={\pi }^2{q}^2(1-2q)$ を最大にすればよい。$F(q)=q^2(1-2q)$ とおくと $$F^{\mathrm{\prime }}(q)=2q(1-2q)-2q^2=2q(1-3q)$$ である。区間 $0<q<1\mathrm{/}2$ において、$F$ は $q=1\mathrm{/}3$ まで増加し、その後減少する。よって最大は $q={\displaystyle \frac{1}{3}}$ のときである。このとき $$p^2=1-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}},p={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ なので、面積の最大値は $$\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{3}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{9}}$$ である。

接線条件から横半径 $p$、縦半径 $q$ の関係 $p^2=1-2q$ を得る。面積の2乗を $q\cdot q\cdot (1-2q)$ と見て、和が1である3数に相加相乗平均を適用する。

$$B=(-1,0),C=(1,0),A=(0,1)$$ とおく。
軸が座標軸に平行な楕円の中心を $(u,q)$、横半径を $p$、縦半径を $q$ とする。
底辺 $y=0$ に接するので中心の高さは $q$ である。

2本の斜辺 $x+y=1$、$-x+y=1$ への接線条件は$$(u+q-1{)}^2=p^2+q^2,(-u+q-1{)}^2=p^2+q^2\mathrm{.}$$両式を引くと $4u(q-1)=0$ である。$q=1$ では三角形内に収まらないから
$u=0$ であり、$$(1-q{)}^2=p^2+q^2,p^2=1-2q\mathrm{.}$$したがって $0<q<1\mathrm{/}2$ である。

面積を $S$ とすると$${\displaystyle \frac{S^2}{{\pi }^2}}=p^2{q}^2=q^2(1-2q)\mathrm{.}$$正の3数 $q,q,1-2q$ の和は1なので、相加相乗平均より$$q^2(1-2q)\leqq {\left({\displaystyle \frac{q+q+(1-2q)}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{27}}\mathrm{.}$$等号は$$q=q=1-2q$$すなわち $q=1\mathrm{/}3$ のときに成立する。このとき $p=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ だから$$S_{\max }={\displaystyle \frac{\pi }{3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{9}}\mathrm{.}$$