東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

高さ $z=t$ で平面切断する。円錐 $A$ は高さ0で半径2、高さ1で半径0になるので、切り口は $x^2+y^2\leqq 4(1-t{)}^2$ である。一方、円柱 $B$ の切り口は高さによらず $(x-1{)}^2+y^2\leqq 1$ である。したがって $S(t)$ は、この2つの円板の共通部分の面積である。

(1) $t=1-\cos \theta$ とおくと、円錐側の断面円の半径は $2(1-t)=2\cos \theta$ である。2つの円周の交点は $$x^2+y^2=4{\cos }^2\theta ,(x-1{)}^2+y^2=1$$ を満たす。2式を引くと $$x^2+y^2-((x-1{)}^2+y^2)=4{\cos }^2\theta -1$$ より $2x-1=4{\cos }^2\theta -1$ であるから $x=2{\cos }^2\theta$ である。これを $x^2+y^2=4{\cos }^2\theta$ に代入して $$y^2=4{\cos }^2\theta -4{\cos }^4\theta =4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$$ を得る。よって交点は $(2{\cos }^2\theta ,\pm 2\sin \theta \cos \theta )$ である。

原点から見ると、交点の偏角は $\pm \theta$ である。実際、円錐側の半径は $2\cos \theta$ であり、交点の $x$ 座標は $2{\cos }^2\theta$ だから、中心角の半分の余弦は $${\displaystyle \frac{2{\cos }^2\theta }{2\cos \theta }}=\cos \theta$$ である。したがって原点中心の円で共通部分に入る扇形の中心角は $2\theta$ で、その面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}(2\cos \theta {)}^2\cdot 2\theta =4\theta {\cos }^2\theta$$ である。

一方、中心 $(1,0)$ の半径1の円では、交点へ向かうベクトルは$$(2{\cos }^2\theta -1,\pm 2\sin \theta \cos \theta )=(\cos 2\theta ,\pm \sin 2\theta )$$である。したがって右側の小さい中心角は $4\theta$ であり、共通部分に入る左側の扇形の中心角は $2\pi -4\theta$ である。その面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}(2\pi -4\theta )=\pi -2\theta$$ である。

上の2つの扇形を足すと、2つの中心と2つの交点でできる四角形を二重に含む。この四角形は底辺を中心間の距離1、高さを $2\sin \theta \cos \theta$ と見ると、面積 $2\sin \theta \cos \theta$ をもつ。したがって $$S(t)=4\theta {\cos }^2\theta +\pi -2\theta -2\sin \theta \cos \theta$$ である。$$4\theta {\cos }^2\theta -2\theta =2\theta (2{\cos }^2\theta -1)=2\theta \cos 2\theta$$、また $$2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$$ だから $$S(t)=\pi +2\theta \cos 2\theta -\sin 2\theta$$ である。

(2) $t=1-\cos \theta$ より $dt=\sin \theta d\theta$ である。また $t=0$ のとき $\theta =0$、$t=1$ のとき $\theta =\pi \mathrm{/}2$ である。したがって体積は$${\int }_0^{1}S(t)dt={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\pi +2\theta \cos 2\theta -\sin 2\theta )\sin \theta d\theta$$である。

各項を計算する。まず$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\pi \sin \theta d\theta =\pi$$である。次に $$2\cos 2\theta \sin \theta =\sin 3\theta -\sin \theta$$ より$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}2\theta \cos 2\theta \sin \theta d\theta ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\theta (\sin 3\theta -\sin \theta )d\theta$$である。部分積分により$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\theta \sin 3\theta d\theta =-{\displaystyle \frac{1}{9}},{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\theta \sin \theta d\theta =1$$だから$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}2\theta \cos 2\theta \sin \theta d\theta =-{\displaystyle \frac{10}{9}}$$である。さらに$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin 2\theta \sin \theta d\theta ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}2{\sin }^2\theta \cos \theta d\theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$$である。

よって$${\int }_0^{1}S(t)dt=\pi -{\displaystyle \frac{10}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}=\pi -{\displaystyle \frac{16}{9}}$$である。

(1) は2円の共通弦から各円弧の中心角を読み、円弧と弦で囲まれる
2つの弓形の面積を足す。(2)は断面積を積分せず、円柱の底面を
原点中心の極座標で表し、円錐内に残る高さを直接積分する。

(1)
$t=1-\cos \theta$ のとき、円錐側の断面円の半径は$$R=2(1-t)=2\cos \theta$$である。もう一方は中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円である。
2円の交点は$$(2{\cos }^2\theta ,\pm 2\sin \theta \cos \theta )\mathrm{.}$$原点中心の円で、共通部分に入る弓形の中心角は $2\theta$ だから、
その面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}{R}^2(2\theta )-{\displaystyle \frac{1}{2}}{R}^2\sin (2\theta )=4\theta {\cos }^2\theta -4\sin \theta {\cos }^3\theta \mathrm{.}$$中心 $(1,0)$ の円では共通部分に入る弓形の中心角が
$2\pi -4\theta$ であり、その面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}(2\pi -4\theta )-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2\pi -4\theta )=\pi -2\theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 4\theta \mathrm{.}$$これらを足し、$${\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 4\theta =2\sin \theta \cos \theta ({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )$$を用いて整理すると$$S(t)=\pi +2\theta \cos 2\theta -\sin 2\theta \mathrm{.}$$(2)
円柱の底面を $xy$ 平面に射影した円板は$$(x-1{)}^2+y^2\leqq 1$$である。この点 $(x,y)$ の真上で円錐内にある高さは$$1-{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}}$$である。原点中心の極座標$$x=\rho \cos \varphi ,y=\rho \sin \varphi$$を用いると、上の円板は$$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \varphi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}},0\leqq \rho \leqq 2\cos \varphi$$と表される。したがって体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\int }_0^{2\cos \varphi }(1-{\displaystyle \frac{\rho }{2}})\rho d\rho d\varphi }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}(2{\cos }^2\varphi -{\displaystyle \frac{4}{3}}{\cos }^3\varphi )d\varphi \mathrm{.}}\end{array}$$ここで$${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^2\varphi d\varphi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^3\varphi d\varphi ={\displaystyle \frac{4}{3}}$$だから$$V=\pi -{\displaystyle \frac{16}{9}}\mathrm{.}$$