東京大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$P=(u,u^2)$, $Q=(v,v^2)$ とおく。$P\mathrm{\ne }Q$ であるから $u\mathrm{\ne }v$ であり、直線 $PQ$ の傾きは $${\displaystyle \frac{v^2-u^2}{v-u}}=u+v$$ である。これが $\sqrt{2}$ に等しいので、$u+v=\sqrt{2}$ である。 $d=v-u$ とおく。このとき $$\overrightarrow{PQ}=(v-u,v^2-u^2)=(d,\sqrt{2}d)$$ であり、辺 $PQ$ の長さは $$\mathrm{\mid }PQ\mathrm{\mid }=\sqrt{d^2+2d^2}=\sqrt{3}\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }$$ である。また中点 $M$ は $$M=({\displaystyle \frac{u+v}{2}},{\displaystyle \frac{u^2+v^2}{2}})$$ である。ここで $$u^2+v^2={\displaystyle \frac{(u+v{)}^2+(v-u{)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{2+d^2}{2}}$$ だから、$$M=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},{\displaystyle \frac{2+d^2}{4}})$$ である。

正三角形の第3頂点 $R$ は、中点 $M$ から $\overrightarrow{PQ}$ に垂直な向きへ ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{\mid }PQ\mathrm{\mid }$ だけ進んだ点である。向きを $\epsilon =1$ または $-1$ で表すと、$$R=({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\epsilon {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}d,{\displaystyle \frac{2+d^2}{4}}+\epsilon {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}d)$$と書ける。

この点も放物線 $y=x^2$ 上にあるので、$${\displaystyle \frac{2+d^2}{4}}+\epsilon {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}d={({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\epsilon {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}d)}^2$$が成り立つ。右辺を展開すると$${({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\epsilon {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}d)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}-\epsilon \sqrt{3}d+{\displaystyle \frac{3}{2}}{d}^2$$であるから、両辺を整理して $${\displaystyle \frac{5}{4}}{d}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\epsilon \sqrt{3}d=0$$ すなわち $$d(5d-6\epsilon \sqrt{3})=0$$ を得る。$P\mathrm{\ne }Q$ より $d\mathrm{\ne }0$ だから、$$d={\displaystyle \frac{6\epsilon \sqrt{3}}{5}}$$ である。したがって $$\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{5}}$$ であり、正三角形の一辺の長さは $$a=\mathrm{\mid }PQ\mathrm{\mid }=\sqrt{3}\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{18}{5}}$$ である。

条件・検算

傾きの分母が0でないことは正三角形の辺なので保証される。得られた $d\mathrm{\ne }0$ を戻すと第3頂点も放物線上にあり、辺長は向きの符号によらず $18\mathrm{/}5$ となる。