東京大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$$ とおく。円 $A$ の接線 $l$ は$$c(x+1)+sy=1,cx+sy=1-c\mathrm{.}$$$l$ と直交する直線は $sx-cy=a$ と書ける。これが中心 $(1,0)$、半径1の円 $B$ に接する条件は$$\mathrm{\mid }s-a\mathrm{\mid }=1,$$したがって $a=s\pm 1$ である。連立方程式を解くと、複号同順で$$P=(c\pm s-\cos 2\theta ,s\mp c-\sin 2\theta )\mathrm{.}$$(2) 正方形の隣り合う二辺を円 $A,B$ にそれぞれ接するように置き、二円の間にある頂点を考える。(1)の二点のうちこの頂点は$$P_1(\theta )=(\cos \theta -\sin \theta -\cos 2\theta ,\sin \theta +\cos \theta -\sin 2\theta )$$である。円 $A$ との接点から $P_1$ までの符号付き距離は $2\sin \theta -1$、円 $B$ との接点からの距離は $2\cos \theta -1$ となる。二つの接点が正方形の対応する辺上にある条件は$$2\sin \theta -1\geqq 0,2\cos \theta -1\geqq 0,$$すなわち$${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$この範囲で $P_1$ が描く曲線が、上側の到達不能部分の境界になる。$$P_1=(x(\theta ),y(\theta ))$$ とおくと、$x$ は単調増加し、両端は$$x\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},x\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$この曲線と $x$ 軸に挟まれる面積を $S_0$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_0}& {\displaystyle ={\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}y(\theta )x^{\mathrm{\prime }}(\theta )d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}3}(\sin \theta +\cos \theta -\sin 2\theta )(-\sin \theta -\cos \theta +2\sin 2\theta )d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}-1+{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、同じ $x$ の範囲で二円の上半円弧と $x$ 軸に挟まれる部分は、中心角 $\pi \mathrm{/}6$ の扇形から直角三角形を引いた部分が二つあるので$$S_1=2({\displaystyle \frac{\pi }{12}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}})={\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\mathrm{.}$$したがって、二円の外側にある上側の到達不能部分は$$S_0-S_1=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$下側にも合同な部分があり、さらに円 $D,E$ の内部そのものの面積が $2\pi$ である。よって求める面積は$$2\pi +2(S_0-S_1)=\pi -2+3\sqrt{3}\mathrm{.}$$条件・検算

選んだ枝では両接点が長さ2の辺上にある範囲がちょうど $$\pi \mathrm{/}6\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}3$$ である。上下の追加領域は合同で、円内部2個分との重複もない。