東京大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

以下、組合せ数は範囲外の添字に対して ${}_N{\mathrm{C}}_k=0$ と約束する。

(1) $p=1$ では$$S_1(x)={\displaystyle \frac{x(x+1)}{2}}$$とすればよい。$1,2,\dots ,p-1$ 乗の和がそれぞれ次数 $2,3,\dots ,p$ の多項式で表されると仮定する。二項定理から$$(n+1{)}^{p+1}-n^{p+1}=(p+1)n^p+\sum _{j=0}^{p-1}{}_{p+1}{\mathrm{C}}_j{n}^j\mathrm{.}$$これを $n=1,\dots ,N$ について加えると$$\sum _{n=1}^N{n}^p={\displaystyle \frac{(N+1{)}^{p+1}-1}{p+1}}-{\displaystyle \frac{1}{p+1}}\sum _{j=0}^{p-1}{}_{p+1}{\mathrm{C}}_j\sum _{n=1}^N{n}^j\mathrm{.}$$右辺は帰納法の仮定により $N$ の多項式であり、最高次項は $N^{p+1}\mathrm{/}(p+1)$ だから次数は $p+1$ である。よって所望の多項式 $S_p(x)$ が存在する。また、自然数で成り立つ等式を多項式の恒等式として見ることにより$$S_p(x)-S_p(x-1)=x^p,S_p(0)=0$$が成り立つ。

(2) 求める恒等式から $x$ を $x-1$ に替えたものを引くと$$\sum _{j=1}^q{a}_j{x}^{2j-1}=x^q\{(x+1{)}^q-(x-1{)}^q\}\mathrm{.}$$二項定理により右辺は$$2\sum _{\begin{array}{c}0\leqq k\leqq q\\ k\text{ が奇数}\end{array}}{}_q{\mathrm{C}}_k{x}^{2q-k}\mathrm{.}$$$x^{2j-1}$ の係数を比較すると$$a_j=2{}_q{\mathrm{C}}_{2j-q-1}(j=1,\dots ,q)\mathrm{.}$$逆にこの係数を選べば、両辺の $x$ と $x-1$ における差が一致する。両辺は $x=0$ で0だから、元の恒等式も成り立つ。

(3) まず一般に$$S_r(-x-1)=(-1{)}^{r+1}{S}_r(x)$$が成り立つ。実際、右辺の多項式と左辺の多項式は、ともに隣り合う値の差が $(-1{)}^{r+1}{x}^r$ となり、$x=0$ で0となるので一致する。

したがって各 $S_{2j}(x)$ は $x=-1\mathrm{/}2$ に関して符号を変える。(3)の右辺でも同じことが必要である。因子 $x^{q-1}(x+1{)}^{q-1}$ は $x\mapsto -x-1$ で変わらないから$$-cx-c+q=-(cx+q)$$でなければならない。よって$$c=2q\mathrm{.}$$この値を用い、(2)と同様に $x$ と $x-1$ における差をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{j=1}^{q-1}{b}_j{x}^{2j}}& {\displaystyle =q{x}^{q-1}\{(2x+1)(x+1{)}^{q-1}-(2x-1)(x-1{)}^{q-1}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =q\{4\sum _{\begin{array}{c}0\leqq k\leqq q-1\\ k\text{ が奇数}\end{array}}{}_{q-1}{\mathrm{C}}_k{x}^{2q-1-k}+2\sum _{\begin{array}{c}0\leqq k\leqq q-1\\ k\text{ が偶数}\end{array}}{}_{q-1}{\mathrm{C}}_k{x}^{2q-2-k}\}\mathrm{.}}\end{array}$$係数比較により$$b_j=2q\{2{}_{q-1}{\mathrm{C}}_{2j-q}+{}_{q-1}{\mathrm{C}}_{2j-q+1}\}(j=1,\dots ,q-1)\mathrm{.}$$この係数なら差が一致し、両辺は $x=0$ で0だから、十分性も成り立つ。

(4) $$D(x)=S_p^{\mathrm{\prime }}(x)-p{S}_{p-1}(x)$$とおく。$S_p(x)-S_p(x-1)=x^p$ を微分した式と、$$S_{p-1}(x)-S_{p-1}(x-1)=x^{p-1}$$ の $p$ 倍を比較すると$$D(x)-D(x-1)=0.$$したがって多項式 $D(x)$ は定数である。

$p$ は奇数なので、上で示した対称性から $S_p(x)$ は $x=-1\mathrm{/}2$ に関して対称であり$$S_p^{\mathrm{\prime }}(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0.$$一方、$p-1$ は偶数なので $S_{p-1}(x)$ は同じ点に関して符号を変え$$S_{p-1}(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0.$$よって $D(-1\mathrm{/}2)=0$ であり、定数多項式 $D$ は恒等的に0である。したがって$$S_p^{\mathrm{\prime }}(x)=p{S}_{p-1}(x)$$が示された。