東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$a=\cos 2\theta$ とおく。$0^{\circ }<\theta <{45}^{\circ }$ より $0<2\theta <{90}^{\circ }$ であるから $0<a<1$ である。 $-1\leqq x\leqq 1$ では $$\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }=x+1,\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=1-x$$ である。したがって，$\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }$ の符号だけで場合分けすればよい。

まず $a\leqq x\leqq 1$ の場合，$$f(x)=(x+1{)}^3+(x-a{)}^3+(1-x{)}^3$$ である。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =3(x+1{)}^2+3(x-a{)}^2-3(1-x{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\{(x+1{)}^2-(1-x{)}^2+(x-a{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\{4x+(x-a{)}^2\}}\end{array}$$である。ここで $x\geqq a>0$ だから $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり，この区間では $f(x)$ は増加する。したがって最小点はこの区間の内部にはない。

次に $-1\leqq x\leqq a$ の場合，$$f(x)=(x+1{)}^3+(a-x{)}^3+(1-x{)}^3$$ である。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x+1{)}^2-3(a-x{)}^2-3(1-x{)}^2$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $$(x+1{)}^2-(a-x{)}^2-(1-x{)}^2=0$$ すなわち $x^2-(4+2a)x+a^2=0$ と同値である。この2次方程式の解は $$x=2+a\pm 2\sqrt{1+a}$$ である。

このうち $$x_0=2+a-2\sqrt{1+a}$$ を考える。$$s=\sqrt{1+a}$$ とおくと $1<s<\sqrt{2}$ であり，$x_0=1+s^2-2s=(s-1{)}^2$ である。したがって $-1<x_0$ であり，さらに $$a-x_0=(s^2-1)-(s-1{)}^2=2(s-1)>0$$ なので $x_0<a$ である。よって $x_0$ は $[-1,a]$ に入る。一方，もう一つの解 $2+a+2\sqrt{1+a}$ は明らかに $a$ より大きい。 $-1\leqq x\leqq a$ では，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x_0$ の前で負，後で正となる。したがって $f(x)$ は $x_0$ で最小値をとる。$[a,1]$ では増加するので，全体の最小点もこの $x_0$ である。

最後に $$a=\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$$ を代入する。すると $$\sqrt{1+a}=\sqrt{2{\cos }^2\theta }=\sqrt{2}\cos \theta$$ である。$0<\theta <{45}^{\circ }$ なので $\cos \theta >0$ を用いた。よって求める $x$ は $$x=1+2{\cos }^2\theta -2\sqrt{2}\cos \theta$$ である。