東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

区間 $[-1,0]$ では $g^{\mathrm{\prime }}(x)=a$，区間 $(0,1]$ では $g^{\mathrm{\prime }}(x)=b$ である。したがって与えられた量は $${\int }_{-1}^0\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-a{\}}^{2}dx+{\int }_0^1\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-b{\}}^{2}dx$$ であり，$a$ と $b$ は別々に最小化できる。

まず $[-1,0]$ における $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の平均値を $$A={\int }_{-1}^0{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx$$ とおく。この区間の長さは $1$ なので，平均値はこの積分そのものである。すると $${\int }_{-1}^0\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-A\}dx=0$$ であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^0\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-a{\}}^{2}dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-A+A-a{\}}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-A{\}}^{2}dx+2(A-a){\int }_{-1}^0\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-A\}dx+(A-a{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-A{\}}^{2}dx+(A-a{)}^2}\end{array}$$となる。よってこの部分は $a=A$ のとき，かつそのときに限って最小である。

ここで $$A={\int }_{-1}^0{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=f(0)-f(-1)=-f(-1)$$ である。したがって最小のとき $g(-1)=a(-1)=-a=f(-1)$ が成り立つ。

同様に，$[0,1]$ における平均値を $$B={\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx$$ とおくと，$${\int }_0^1\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-b{\}}^{2}dx={\int }_0^1\{f^{\mathrm{\prime }}(x)-B{\}}^{2}dx+(B-b{)}^2$$ である。よってこの部分は $b=B$ のとき最小である。また $$B={\int }_0^1{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=f(1)-f(0)=f(1)$$ なので，最小のとき $g(1)=b=f(1)$ である。

以上より，与えられた量が最小となるとき $$g(-1)=f(-1),g(1)=f(1)$$ が成り立つ。

条件・検算

左右の最小化は独立であり、区間長が1であるため平均値に余分な除数が付かない。交差項が0になることを明示して必要十分性を確保する。

$f(0)=0$ を使って $f(x)=p{x}^2+qx$ と置く。左右の誤差を、平均0の一次式と定数の和に分けて平方展開し、$a,b$ を含む平方項だけを最小化する。

$f(0)=0$ を満たす2次関数だから$$f(x)=p{x}^2+qx,f^{\mathrm{\prime }}(x)=2px+q$$とおける。

左側では$$2px+q-a=p(2x+1)+(q-p-a)$$であり、$${\int }_{-1}^0(2x+1)dx=0$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^0(2px+q-a{)}^{2}dx}& {\displaystyle =p^2{\int }_{-1}^0(2x+1{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(q-p-a{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって最小となるのは $a=q-p$ のときであり、$$g(-1)=-a=p-q=f(-1)$$である。

同様に右側では$$2px+q-b=p(2x-1)+(p+q-b),{\int }_0^1(2x-1)dx=0.$$したがって最小となるのは $b=p+q$ のときであり、$$g(1)=b=p+q=f(1)$$である。