東京大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$ である。したがって $f$ は$$(-\mathrm{\infty },-1)\text{ で増加},(-1,1)\text{ で減少},(1,\mathrm{\infty })\text{ で増加}$$する。また $f(-1)=2,f(1)=-2$ であり、$x=-1$ で極大値 $2$、$x=1$ で極小値 $-2$ をとる。さらに $x\to \mathrm{\infty }$ で $f(x)\to \mathrm{\infty }$、$x\to -\mathrm{\infty }$ で $f(x)\to -\mathrm{\infty }$ である。

よって $f(x)=a$ を満たす実数 $x$ の個数は$$\{\begin{array}{ll}1& (a<-2\text{ または }2<a),\\ 2& (a=-2\text{ または }a=2),\\ 3& (-2<a<2)\end{array}$$である。

(2) $g(x)=f(f(x))$ である。$g(x)=0$ は $f(f(x))=0$ であるから、まず $f(u)=0$ を解く。これは $u^3-3u=u(u^2-3)=0$ より $$u=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$$ である。

これら3つの値はいずれも $-2<u<2$ を満たす。したがって(1)より、それぞれの $u$ に対して $f(x)=u$ は3個の実数解をもつ。異なる $u$ から得られる解集合は重ならないので、$g(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数は $3\cdot 3=9$ である。

(3) $h(x)=f(g(x))$ であるから、$h(x)=0$ は $f(g(x))=0$ である。したがって $$g(x)=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$$ のいずれかが成り立てばよい。

ここで $-2<a<2$ を満たす任意の $a$ について、$g(x)=a$ の実数解の個数を調べる。$g(x)=a$ は $f(f(x))=a$ である。まず $f(u)=a$ は、(1)より3個の実数解をもつ。さらに、$-2<a<2$ のとき、その3解はそれぞれ $$-2<u<-1,-1<u<1,1<u<2$$ に1個ずつ存在する。したがって、どの解 $u$ についても $-2<u<2$ であり、再び(1)より $f(x)=u$ は3個の実数解をもつ。

よって $-2<a<2$ のとき、$g(x)=a$ は $3\cdot 3=9$ 個の実数解をもつ。$-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$ はすべてこの範囲に入るので、$h(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数は $3\cdot 9=27$ である。

条件・検算

異なる中間値の逆像は互いに交わらない。また $-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$ はすべて $(-2,2)$ に入り、各段で3本の逆像が保たれる。