東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

最初に $\times$ が1個表示されている。$\times$ が合計3個出る前に $\circ$ が2個出ればよいので，操作後の列として許されるものは$$\times \circ \circ ,\times \times \circ \circ ,\times \circ \times \circ$$である。

それぞれの確率を求める。最初の列は，$\times$ から $\circ$ へ変わり，次に $\circ$ が続くので $(1-p)p$ である。2番目の列は $p(1-p)p$ である。3番目の列は，毎回前と異なる記号に変わるので $(1-p{)}^3$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_2}& {\displaystyle =(1-p)p+p(1-p)p+(1-p{)}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-p)(2p^2-p+1)}\end{array}$$である。

(2) $\circ$ が3個出る前に，追加で出てよい $\times$ は高々1個である。

追加の $\times$ が出ない場合，列は $\times \circ \circ \circ$ であり，確率は $(1-p)p^2$ である。

追加の $\times$ が最初の操作で出る場合，列は $\times \times \circ \circ \circ$ であり，確率は $p(1-p)p^2$ である。

追加の $\times$ が，少なくとも1個の $\circ$ が出た後に現れる場合を考える。この $\times$ は，1個目の $\circ$ の後，または2個目の $\circ$ の後に入るので2通りである。どちらの場合も，$\times$ から $\circ$ へ変わる，途中で $\circ$ から $\times$ へ変わる，さらに $\times$ から $\circ$ へ変わる，という3回の変化があり，残り1回は $\circ$ が続く。したがって各確率は $(1-p{)}^{3}p$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_3}& {\displaystyle =(1-p)p^2+p(1-p)p^2+2(1-p{)}^{3}p}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p(1-p)(3p^2-3p+2)}\end{array}$$である。

(3) $n\geqq 4$ とする。追加の $\times$ がない場合，最初に $\times$ から $\circ$ へ変わり，その後 $\circ$ が $n-1$ 回続くので，確率は $(1-p)p^{n-1}$ である。

追加の $\times$ が最初の操作で出る場合，最初に $\times$ が続き，次に $\circ$ へ変わり，その後 $\circ$ が $n-1$ 回続くので，確率は $p(1-p)p^{n-1}$ である。

最後に，少なくとも1個の $\circ$ が出た後に追加の $\times$ が1回だけ出る場合を考える。この追加の $\times$ は，1個目の $\circ$ の後から $(n-1)$ 個目の $\circ$ の後までのいずれかに入るので，位置は $n-1$ 通りである。どの位置でも，記号が変わる回数は3回で，$\circ$ が続く回数は $n-2$ 回である。したがって各確率は $(1-p{)}^3{p}^{n-2}$ である。

以上より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n}& {\displaystyle =(1-p)p^{n-1}+p(1-p)p^{n-1}+(n-1)(1-p{)}^3{p}^{n-2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-p)p^{n-2}\{p+p^2+(n-1)(1-p{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-p)p^{n-2}\{n{p}^2-(2n-3)p+n-1\}}\end{array}$$である。

3個目の×が出ると失敗するため，成功経路はこの3型だけである．

○が$k$個出た直後を，追加の×が0個の状態$A_k$と，1個の状態$B_k$に分ける．遷移は$A_{k+1}=p{A}_k$，$B_{k+1}=p{B}_k+(1-p{)}^2{A}_k$である．この2状態漸化式を解いて$P_n=A_n+B_n$を求める．

状態の定義

$k$個目の○が出た直後について，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_k}& {\displaystyle =\text{追加の×がまだ0個である確率},}\\ {\displaystyle B_k}& {\displaystyle =\text{追加の×がちょうど1個である確率}}\end{array}$$とおく．どちらも最後の記号は○である．最初の×から1個目の○へ移る経路を考えると$$A_1=1-p,B_1=p(1-p)$$である．

$A_k$から追加の×を出さずに次の○へ進む確率は$p$である．
また，$A_k$から○，×，○と移って追加の×を1個使う確率は$(1-p{)}^2$である．
$B_k$からは×をもう出せないので，○を続ける確率$p$だけが許される．
したがって$$A_{k+1}=p{A}_k,B_{k+1}=p{B}_k+(1-p{)}^2{A}_k$$を得る．

第1式から$$A_n=(1-p)p^{n-1}$$である．第2式を順に展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle B_n}& {\displaystyle =p^{n-1}{B}_1+(1-p{)}^2\sum _{j=1}^{n-1}{p}^{n-1-j}{A}_j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p^n(1-p)+(n-1)(1-p{)}^3{p}^{n-2}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n=A_n+B_n}& {\displaystyle =(1-p)p^{n-2}\{p+p^2+(n-1)(1-p{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-p)p^{n-2}\{n{p}^2-(2n-3)p+n-1\}\mathrm{.}}\end{array}$$(1) $n=2$を代入すると$$P_2=(1-p)(2p^2-p+1)$$である．

(2) $n=3$を代入すると$$P_3=p(1-p)(3p^2-3p+2)$$である．

(3) $n\geqq 4$では，上で得た一般式$$P_n=(1-p)p^{n-2}\{n{p}^2-(2n-3)p+n-1\}$$が求める答えである．