東京大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

2つの球の半径はいずれも1で、中心間距離は $r$ である。まず $r\geqq 2$ のとき、2つの球は内部を共有しない。したがって和集合の体積は2つの単位球の体積の和であり、$$V=2\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi ={\displaystyle \frac{8\pi }{3}}$$ である。

次に $0<r<2$ とする。2つの球の共通部分は、2つの同じ高さの球冠からなる。中心を結ぶ線分の中点にある平面が共通部分の境目になり、各球から見た球冠の高さは $$h=1-{\displaystyle \frac{r}{2}}$$ である。

半径1の球の高さ $h$ の球冠の体積を求める。球の中心を原点に置き、$x$ 軸方向に切ると、断面積は $\pi (1-x^2)$ である。球冠は $1-h\leqq x\leqq 1$ に対応するので、体積は$${\int }_{1-h}^1\pi (1-x^2)dx=\pi {[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{1-h}^1$$である。これを整理すると $\pi h^2(1-{\displaystyle \frac{h}{3}})$ となる。

したがって2球の共通部分の体積は $2\pi h^2(1-{\displaystyle \frac{h}{3}})$ である。ここに $h=1-r\mathrm{/}2=(2-r)\mathrm{/}2$ を代入すると、$$2\pi h^2(1-{\displaystyle \frac{h}{3}})={\displaystyle \frac{\pi (4+r)(2-r{)}^2}{12}}$$ である。

よって和集合の体積は $$V={\displaystyle \frac{8\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi (4+r)(2-r{)}^2}{12}}$$ であり、整理して $$V={\displaystyle \frac{\pi (16+12r-r^3)}{12}}(0<r<2)$$ となる。したがって$$V=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\pi (16+12r-r^3)}{12}}& (0<r<2),\\ {\displaystyle \frac{8\pi }{3}}& (r\geqq 2)\end{array}$$である。 $0<r<2$ では $$V^{\mathrm{\prime }}(r)={\displaystyle \frac{\pi }{12}}(12-3r^2)={\displaystyle \frac{\pi (4-r^2)}{4}}>0$$ である。したがってグラフは、$r$ が0に近いところで $4\pi \mathrm{/}3$ に近づき、$0<r<2$ で増加し、$r=2$ で $8\pi \mathrm{/}3$ に達し、その後は水平になる。

(2) $8\pi \mathrm{/}3>8$ であり、また $r$ が0に近いとき $V$ は $4\pi \mathrm{/}3<8$ に近づくので、$V=8$ の解は $0<r<2$ にある。さらにこの範囲で $V$ は増加するから、挟み撃ちで $r$ を決められる。 $r=1.45$ のとき $${\displaystyle \frac{16+12r-r^3}{12}}=2.52928125$$ である。$\pi <3.15$ より $$V<2.52928125\cdot 3.15=7.9677359375<8$$ である。 $r=1.55$ のとき $${\displaystyle \frac{16+12r-r^3}{12}}=2.573010\cdots$$ である。$\pi >3.14$ より $$V>2.573010\cdots \cdot 3.14>8$$ である。

よって、単調性から $1.45<r<1.55$ である。したがって $r$ を四捨五入して小数第1位まで求めると $r=1.5$ である。

条件・検算

$r\to 0+$ で $V\to 4\pi \mathrm{/}3$、$r=2$ で両方の式が $8\pi \mathrm{/}3$ となる。さらに $0<r<2$ で単調増加するので、(2)の解は一意である。