東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

甲が2回目を引かないとき、合計は $a$ である。乙の1枚目を $c$ とすると、$c>a$ ならその時点で乙が勝つので、甲が勝ち得るのは $1\leqq c\leqq a$ の場合だけである。

この $c$ を固定する。乙の2枚目を $d$ とすると、甲が勝つのは$$c+d\leqq a\text{または}c+d>N$$のときである。前者を満たす $d$ は $a-c$ 通り、後者は $c$ 通りで、両者は重ならない。したがって各 $c$ に対して有利な $d$ は $a$ 通り、全体では $a^2$ 組である。よって確率は$${\displaystyle \frac{a^2}{N^2}}\mathrm{.}$$(2)

2枚目の数を $b$ とする。$a+b>N$ なら甲は直ちに負ける。$1\leqq b\leqq N-a$ では合計 $S=a+b$ に (1) の数え上げを適用でき、条件付き確率は$${\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{N^2}}$$である。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{N}}\sum _{b=1}^{N-a}{\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{N^2}}={\displaystyle \frac{1}{N^3}}\sum _{k=a+1}^N{k}^2={\displaystyle \frac{N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}{6N^3}}\mathrm{.}$$なお、2回目を引く方が有利かどうかは$$D(a)=\sum _{k=a+1}^N{k}^2-N{a}^2$$の符号で決まる。さらに$$D(a+1)-D(a)=-(a+1{)}^2-N(2a+1)<0$$なので、$a$ が大きくなるほど2回目を引く利点は一方的に小さくなる。

条件・検算

手順(iii)で終了する場合にも仮想的な $d$ を付ける計数は確率を変えない。$(2)$ では $a+b>N$ の即時敗北を和の範囲で除外する。

甲の合計 $S\leqq N$ を固定し、乙の1枚目で即終了する場合にも仮想的な2枚目を付けて全 $N^2$ 組を数える。乙の勝ちが $N^2-S^2$ 組になることから甲の勝率を得る。

甲の合計を $S\leqq N$ と固定する。$c>S$ で即終了する場合にも、計数上は仮想的な2枚目 $d$ を付ける。この場合の乙の勝ちは $(N-S)N$ 組である。

$1\leqq c\leqq S$ では、乙が勝つ条件は $S<c+d\leqq N$ であり、各 $c$ に対して $d$ は $N-S$ 通りある。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \text{乙の勝ち}}& {\displaystyle =(N-S)N+S(N-S)=N^2-S^2,}\\ {\displaystyle \text{甲の勝ち}}& {\displaystyle =S^2}\end{array}$$となり、固定合計 $S$ での甲の勝率は ${\displaystyle \frac{S^2}{N^2}}$ である。

(1)

2回目を引かないときは $S=a$ だから$${\displaystyle \frac{a^2}{N^2}}\mathrm{.}$$(2)

$b>N-a$ なら甲は直ちに負ける。$1\leqq b\leqq N-a$ では $S=a+b$ なので、$b$ について平均して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{N}}\sum _{b=1}^{N-a}{\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{N^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{N^3}}\sum _{k=a+1}^N{k}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}{6N^3}}\mathrm{.}}\end{array}$$