東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

最後のブロックの高さは，$n$ 回目からさかのぼって最後に連続して出ている表の個数である。 $0\leqq m<n$ とする。最後の高さが $m$ であるためには，$n-m$ 回目に裏が出て，その後の $m$ 回がすべて表であることが必要十分である。したがって $$p_m=(1-p)p^m(0\leqq m<n)$$ である。ここで $m=0$ のときは，最後の1回が裏であることを表している。 $m=n$ のときは，$n$ 回すべて表が出る場合だけであるから $p_n=p^n$ である。

(2) $0\leqq m<n$ とする。高さが $m$ を超えることは，最後の $m+1$ 回がすべて表であることと同値である。よって余事象を用いて $$q_m=1-p^{m+1}(0\leqq m<n)$$ である。

また，高さは最大でも $n$ なので $q_n=1$ である。

(3)

2度の独立な試行で得られる最後の高さを $X,Y$ とする。高い方のブロックの高さが $m$ であることは，$\max (X,Y)=m$ である。したがって分布関数の差を用いて $$P(\max (X,Y)=m)=P(X\leqq m,Y\leqq m)-P(X\leqq m-1,Y\leqq m-1)$$ と表せる。 $m=0$ のときは両方とも高さ $0$ であればよいから $r_0=q_0^2=(1-p{)}^2$ である。 $1\leqq m<n$ では，2回の試行は独立なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r_m}& {\displaystyle =q_m^2-q_{m-1}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-p^{m+1}{)}^2-(1-p^m{)}^2}\end{array}$$である。

最後に $m=n$ では，高い方が $n$ 以下であることは常に成り立つので $$r_n=1-q_{n-1}^2=1-(1-p^n{)}^2$$ である。

高さは試行列全体ではなく、末尾に連続する表の長さだけで決まる。

2回の高さを $X,Y$ とし、$\max (X,Y)=m$ を「一方だけが $m$」と「両方が $m$」に分ける。高さがちょうど $m$ の確率 $p_m$ と、$m-1$ 以下の確率 $q_{m-1}$ を使えば直接計算できる。

(1) 最後に連続する表の回数が高さであるから$$p_m=\{\begin{array}{ll}(1-p)p^m& (0\leqq m<n),\\ p^n& (m=n),\end{array}$$(2) 高さが $m$ 以下である確率は、末尾 $m+1$ 回がすべて表となる事象の余事象なので$$q_m=\{\begin{array}{ll}1-p^{m+1}& (0\leqq m<n),\\ 1& (m=n)\mathrm{.}\end{array}$$(3) 2回の独立な試行の高さを $X,Y$ とする。
$1\leqq m\leqq n$ について、最大値が $m$ となるのは$$\{\begin{array}{l}X=m,Y\leqq m-1,\\ Y=m,X\leqq m-1,\\ X=Y=m\end{array}$$の互いに排反な3場合である。よって$$r_m=2p_m{q}_{m-1}+p_m^2\mathrm{.}$$したがって $1\leqq m<n$ では$$r_m=2(1-p)p^m(1-p^m)+(1-p{)}^2{p}^{2m},$$$m=n$ では$$r_n=2p^n(1-p^n)+p^{2n}=1-(1-p^n{)}^2\mathrm{.}$$また $m=0$ では両方とも高さ0でなければならないから$$r_0=(1-p{)}^2\mathrm{.}$$これは解法1の $q_m^2-q_{m-1}^2$ と同じ分布を、最大値を取る側の
分類から求めたものである。