東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

まず $r=1$ の場合を考える。一般の $r>0$ では，$x,y,z$ をそれぞれ $r$ 倍する相似変換により長さが $r$ 倍，体積が $r^3$ 倍になる。したがって最後に $r^3$ を掛ければよい。

3つの条件 $x^2+y^2\leqq 1,y^2+z^2\geqq 1,z^2+x^2\leqq 1$ はいずれも $x,y,z$ の符号を個別に変えても変わらない。よって第1八分体の体積を $V_0$ とすると，全体の体積は $8V_0$ である。

第1八分体で $x,y,z\geqq 0$ とする。$x,y$ を固定すると，$z^2+x^2\leqq 1$ より $$0\leqq z\leqq \sqrt{1-x^2}$$ である。また $y^2+z^2\geqq 1$ より $$z\geqq \sqrt{1-y^2}$$ である。したがって $z$ の長さは $\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-y^2}$ である。ただし，これが0以上でなければならないので $$\sqrt{1-y^2}\leqq \sqrt{1-x^2}$$ すなわち $y\geqq x$ が必要十分である。

さらに $x^2+y^2\leqq 1$ がある。第1象限で $y\geqq x$ かつ $x^2+y^2\leqq 1$ を満たす範囲は $$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},x\leqq y\leqq \sqrt{1-x^2}$$ である。よって$$V_0={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}{\int }_x^{\sqrt{1-x^2}}\{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-y^2}\}dydx$$となる。

これを $V_0=A-B$ と分ける。ただし $$A={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}{\int }_x^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2}dydx$$ および $$B={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}{\int }_x^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-y^2}dydx$$ である。

まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle ={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}\{\sqrt{1-x^2}-x\}\sqrt{1-x^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}(1-x^2)dx-{\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}x\sqrt{1-x^2}dx}\end{array}$$である。ここで$${\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}(1-x^2)dx={[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}={\displaystyle \frac{5}{6\sqrt{2}}}$$であり，$${\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}x\sqrt{1-x^2}dx={[-{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-x^2{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}]}_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6\sqrt{2}}}$$である。したがって $$A={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

次に $B$ を計算する。積分領域は $$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},x\leqq y\leqq \sqrt{1-x^2}$$ である。積分順序を変えると，$$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ では $0\leqq x\leqq y$，$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq y\leqq 1$$ では $$0\leqq x\leqq \sqrt{1-y^2}$$ となる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle B}& {\displaystyle ={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}{\int }_0^y\sqrt{1-y^2}dxdy+{\int }_{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}^1{\int }_0^{\sqrt{1-y^2}}\sqrt{1-y^2}dxdy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}y\sqrt{1-y^2}dy+{\int }_{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}^1(1-y^2)dy}\end{array}$$である。各項を計算すると $${\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}y\sqrt{1-y^2}dy={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6\sqrt{2}}}$$ かつ $${\int }_{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}^1(1-y^2)dy={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{6\sqrt{2}}}$$ だから $B=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ である。

したがって$$V_0=A-B=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})-(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})=\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$である。よって $r=1$ のときの全体の体積は $$8V_0=8\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{32}{3}}$$ である。

以上より，一般の $r$ に対する体積は $(8\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{32}{3}})r^3$ である。

条件・検算

第1八分体の断面が存在する範囲と、円柱の内外条件を取り違えない。最後に符号対称の8倍と相似比 $r^3$ を戻す。

第1八分体で $x$ を固定する。$yz$ 平面では一辺 $\sqrt{1-x^2}$ の正方形から単位円の内側を除いた部分が断面になる。円弧部分を積分し、二重積分の順序を交換して評価する。

相似性から $r=1$ とし、最後に $r^3$ 倍する。第1八分体で $x$ を固定し、$$L=\sqrt{1-x^2}$$ とおくと、断面は$$0\leqq y,z\leqq L,y^2+z^2\geqq 1$$である。存在条件 $2L^2\geqq 1$ より $$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。正方形 $[0,L{]}^2$ のうち単位四分円の外側を取るので$$A(x)=L^2-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2{\int }_L^1\sqrt{1-t^2}dt\mathrm{.}$$したがって第1八分体の体積は$$V_0={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}\{1-x^2-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2{\int }_{\sqrt{1-x^2}}^1\sqrt{1-t^2}dt\}dx\mathrm{.}$$二重積分部分の順序を交換すれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 2{\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}{\int }_{\sqrt{1-x^2}}^1\sqrt{1-t^2}dtdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}^1({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-\sqrt{1-t^2})\sqrt{1-t^2}dt\mathrm{.}}\end{array}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}^1\sqrt{1-t^2}dt}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}},}\\ {\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}^1(1-t^2)dt}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{6\sqrt{2}}}\mathrm{.}}\end{array}$$これらを代入すると $\pi$ の項が消え、$$V_0=\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$符号対称性で8倍し、相似比を戻せば$$V=8r^3{V}_0=(8\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{32}{3}})r^3\mathrm{.}$$