東京大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) まず $0<\theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ とする。もとの線分上の位置を $0\leqq s\leqq 1$ で表すと、これを $x$ 軸のまわりに回した点は$$x=a+s\cos \theta ,y^2+z^2=s^2{\sin }^2\theta$$を満たす。

高さ $y\geqq 0$ を固定すると、$y\leqq \sin \theta$ の範囲で$${\displaystyle \frac{y}{\sin \theta }}\leqq s\leqq 1.$$この点の $y$ 軸からの距離を $\rho$ とすれば$${\rho }^2=x^2+z^2=a^2+2as\cos \theta +s^2-y^2\mathrm{.}$$右辺は $s$ とともに増加する。したがって回転後の断面の内半径と外半径は$${\rho }_{\min }=a+y\cot \theta ,{\rho }_{\max }=\sqrt{a^2+2a\cos \theta +1-y^2}$$である。上下対称性を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{\sin \theta }\{a^2+2a\cos \theta +1-y^2-(a+y\cot \theta {)}^2\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{\sin \theta }(1+2a\cos \theta -{\displaystyle \frac{2a\cos \theta }{\sin \theta }}y-{\displaystyle \frac{y^2}{{\sin }^2\theta }})dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi \sin \theta (a\cos \theta +{\displaystyle \frac{2}{3}})\mathrm{.}}\end{array}$$$\theta =0$ では体積は0であり、この公式の値とも一致する。よって$$V=2\pi \sin \theta (a\cos \theta +{\displaystyle \frac{2}{3}})\mathrm{.}$$(2) $a=4$ とする。$V\mathrm{/}(2\pi )$ を微分すると$${\displaystyle \frac{d}{d\theta }}\{\sin \theta (4\cos \theta +{\displaystyle \frac{2}{3}})\}=4\cos 2\theta +{\displaystyle \frac{2}{3}}\cos \theta \mathrm{.}$$これが0となる条件は$$12{\cos }^2\theta +\cos \theta -6=0.$$$0\leqq \cos \theta \leqq 1$ より $\cos \theta =2\mathrm{/}3$、$\sin \theta =\sqrt{5}\mathrm{/}3$ を得る。両端の値とも比較すると、このとき最大である。したがって$$V_{\max }=2\pi \cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}(4\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{20\pi \sqrt{5}}{9}}\mathrm{.}$$