東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $t=a+u$ とおく。$0<x<a$ なので，積分区間では $t>0$ であり，置換して$${\int }_{a-x}^{a+x}{\displaystyle \frac{1}{t}}dt={\int }_{-x}^x{\displaystyle \frac{1}{a+u}}du$$となる。正負の $u$ を組にすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-x}^x{\displaystyle \frac{1}{a+u}}du}& {\displaystyle ={\int }_0^x({\displaystyle \frac{1}{a-u}}+{\displaystyle \frac{1}{a+u}})du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^x{\displaystyle \frac{2a}{a^2-u^2}}du}\end{array}$$である。 $0\leqq u<x<a$ では $$a^2-x^2<a^2-u^2\leqq a^2$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{2}{a}}<{\displaystyle \frac{2a}{a^2-u^2}}<{\displaystyle \frac{2a}{a^2-x^2}}$$ が，端点を除く区間で成り立つ。右端は $${\displaystyle \frac{2a}{a^2-x^2}}={\displaystyle \frac{1}{a+x}}+{\displaystyle \frac{1}{a-x}}$$ である。これを $0\leqq u\leqq x$ で積分すると，厳密な不等式として$${\displaystyle \frac{2x}{a}}<{\int }_{a-x}^{a+x}{\displaystyle \frac{1}{t}}dt<x({\displaystyle \frac{1}{a+x}}+{\displaystyle \frac{1}{a-x}})$$を得る。

(2)

まず$$\log 2={\int }_1^2{\displaystyle \frac{1}{t}}dt={\int }_1^{3\mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{1}{t}}dt+{\int }_{3\mathrm{/}2}^2{\displaystyle \frac{1}{t}}dt$$と分ける。

(1) を $a=5\mathrm{/}4,x=1\mathrm{/}4$ に適用すると，区間 $[a-x,a+x]=[1,3\mathrm{/}2]$ であるから$${\displaystyle \frac{2\mathrm{/}4}{5\mathrm{/}4}}<{\int }_1^{3\mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{1}{t}}dt<{\displaystyle \frac{1}{4}}(1+{\displaystyle \frac{2}{3}})$$すなわち$${\displaystyle \frac{2}{5}}<{\int }_1^{3\mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{1}{t}}dt<{\displaystyle \frac{5}{12}}$$である。

また，(1)を $a=7\mathrm{/}4,x=1\mathrm{/}4$ に適用すると，区間 $[a-x,a+x]=[3\mathrm{/}2,2]$ であるから$${\displaystyle \frac{2\mathrm{/}4}{7\mathrm{/}4}}<{\int }_{3\mathrm{/}2}^2{\displaystyle \frac{1}{t}}dt<{\displaystyle \frac{1}{4}}({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{3}})$$すなわち$${\displaystyle \frac{2}{7}}<{\int }_{3\mathrm{/}2}^2{\displaystyle \frac{1}{t}}dt<{\displaystyle \frac{7}{24}}$$である。

2つを足して $${\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{7}}<\log 2<{\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{7}{24}}$$ を得る。すなわち $${\displaystyle \frac{24}{35}}<\log 2<{\displaystyle \frac{17}{24}}$$ である。ここで $${\displaystyle \frac{24}{35}}>0.68$$ は $2400>2380$ より成り立ち，$${\displaystyle \frac{17}{24}}<0.71$$ は $1700<1704$ より成り立つ。したがって $0.68<\log 2<0.71$ が示された。

$1\mathrm{/}t$ は凸関数なので、中央の値が下側評価、端点を結ぶ弦が上側評価を与える。

$f(t)=1\mathrm{/}t$ は正の範囲で狭義凸である。対称点 $a-u,a+u$ の平均から下側を、区間両端を結ぶ弦から上側を評価し、積分する。(2)は同じ2区間へ適用する。

(1) $f(t)=1\mathrm{/}t$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2}{t^3}}>0(t>0)$$であるから、$f$ は狭義凸である。$0<u\leqq x$ では凸性より$${\displaystyle \frac{f(a-u)+f(a+u)}{2}}>f(a)$$なので$${\int }_{a-x}^{a+x}f(t)dt={\int }_0^x\{f(a-u)+f(a+u)\}du>{\displaystyle \frac{2x}{a}}\mathrm{.}$$一方、凸関数のグラフは区間両端を結ぶ弦より下にある。弦の積分は
台形の面積に等しいから$${\int }_{a-x}^{a+x}f(t)dt<2x\cdot {\displaystyle \frac{f(a-x)+f(a+x)}{2}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{2x}{a}}<{\int }_{a-x}^{a+x}{\displaystyle \frac{dt}{t}}<x({\displaystyle \frac{1}{a-x}}+{\displaystyle \frac{1}{a+x}})\mathrm{.}$$(2) $[1,2]$ を $[1,3\mathrm{/}2]$、$[3\mathrm{/}2,2]$ に分ける。
(1)へ順に $$(a,x)=(5\mathrm{/}4,1\mathrm{/}4),(7\mathrm{/}4,1\mathrm{/}4)$$ を代入すると$${\displaystyle \frac{2}{5}}<{\int }_1^{3\mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{dt}{t}}<{\displaystyle \frac{5}{12}},{\displaystyle \frac{2}{7}}<{\int }_{3\mathrm{/}2}^2{\displaystyle \frac{dt}{t}}<{\displaystyle \frac{7}{24}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{24}{35}}<\log 2<{\displaystyle \frac{17}{24}}\mathrm{.}$$$24\mathrm{/}35>0.68$、$17\mathrm{/}24<0.71$ だから$$0.68<\log 2<0.71$$である。