東京大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

与えられた条件を計算する。$[-1,1]$ では奇関数の積分が $0$ になるので，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\{x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \}dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx-(\alpha +\beta ){\int }_{-1}^{1}xdx+\alpha \beta {\int }_{-1}^{1}1dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+2\alpha \beta \mathrm{.}}\end{array}$$これが $1$ に等しいから，$$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。したがって $\alpha =0$ は条件に反し，$\alpha >0$ である。また $$\beta ={\displaystyle \frac{1}{6\alpha }}$$ と表せる。

次に $S$ を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\alpha }\{x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}{x}^2+\alpha \beta x]}_0^{\alpha }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\alpha }^3}{3}}-{\displaystyle \frac{(\alpha +\beta ){\alpha }^2}{2}}+{\alpha }^2\beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}){\alpha }^3+(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1){\alpha }^2\beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{{\alpha }^3}{6}}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^2\beta }{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ より $${\alpha }^2\beta ={\displaystyle \frac{\alpha }{6}}$$ だから，$$S=-{\displaystyle \frac{{\alpha }^3}{6}}+{\displaystyle \frac{\alpha }{12}}={\displaystyle \frac{\alpha -2{\alpha }^3}{12}}$$ である。

残るのは $\alpha$ の範囲である。$0<\alpha \leqq \beta$ と $$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ から $${\alpha }^2\leqq \alpha \beta ={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ であり，$$0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$$ である。この範囲で$${\displaystyle \frac{d}{d\alpha }}\left({\displaystyle \frac{\alpha -2{\alpha }^3}{12}}\right)={\displaystyle \frac{1-6{\alpha }^2}{12}}$$となる。いま $$0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$$ では $1-6{\alpha }^2\geqq 0$ であるから，$S$ はこの範囲で単調に増加する。

よって最大値は $$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$$ のときに得られる。このとき $$\beta ={\displaystyle \frac{1}{6\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$$ であり，条件 $\alpha \leqq \beta$ も満たす。最大値は$${\displaystyle \frac{1}{12}}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{6\sqrt{6}}})={\displaystyle \frac{1}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{1}{18\sqrt{6}}}$$である。