東京大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

円 $C$ の中心を原点 $O$ とし、最初に点 $P$ が $(10,0)$ で円 $C$ に接しているとする。円板 $D$ の中心を $S$ とすると、$S$ は半径 $10-3=7$ の円周上を動く。そこで $S=(7\cos t,7\sin t)$ とおく。

円板が滑らずに内側を転がるので、中心 $S$ が角 $t$ だけ進む間に、円板は中心のまわりに逆向きに ${\displaystyle \frac{7}{3}}t$ だけ回転する。したがって点 $P$ の座標は$$\{\begin{array}{l}x=7\cos t+3\cos {\displaystyle \frac{7t}{3}},\\ y=7\sin t-3\sin {\displaystyle \frac{7t}{3}}\end{array}$$と表される。

次に、点 $P$ が再び円 $C$ の円周に接する時刻を求める。上の式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^2+y^2}& {\displaystyle =49+9+42(\cos t\cos {\displaystyle \frac{7t}{3}}-\sin t\sin {\displaystyle \frac{7t}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =58+42\cos {\displaystyle \frac{10t}{3}}}\end{array}$$である。円 $C$ の円周上にある条件は $x^2+y^2=100$ であるから、$$58+42\cos {\displaystyle \frac{10t}{3}}=100$$ すなわち $$\cos {\displaystyle \frac{10t}{3}}=1$$ である。$t>0$ で最初にこれが成り立つのは $${\displaystyle \frac{10t}{3}}=2\pi$$ のときなので、$$t={\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$$ である。

曲線と円 $C$ の円弧で囲まれる小さい方の面積を求める。まず、点 $P$ が描く曲線と原点 $O$ を結ぶ線分が掃く面積は、微小な三角形の面積を足し合わせる考えから $${\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{3\pi \mathrm{/}5}(x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }})dt$$ である。ここで上の媒介変数表示を微分して整理すると $$x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}=56{\sin }^2{\displaystyle \frac{5t}{3}}$$ となる。よって曲線が掃く面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{3\pi \mathrm{/}5}56{\sin }^2{\displaystyle \frac{5t}{3}}dt=28{\int }_0^{3\pi \mathrm{/}5}{\sin }^2{\displaystyle \frac{5t}{3}}dt$$である。$$u={\displaystyle \frac{5t}{3}}$$ とおくと、$t=0$ から $3\pi \mathrm{/}5$ まで動くとき $u$ は $0$ から $\pi$ まで動くので、$$28{\int }_0^{3\pi \mathrm{/}5}{\sin }^2{\displaystyle \frac{5t}{3}}dt=28\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}udu=28\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{42\pi }{5}}$$である。

一方、最初と次の接点を結ぶ円 $C$ の弧に対応する扇形の中心角は $3\pi \mathrm{/}5$ である。したがってその扇形の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {10}^2\cdot {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}=30\pi$$ である。曲線はこの扇形の内部を通るので、曲線と円弧で囲まれる小さい方の面積は $$30\pi -{\displaystyle \frac{42\pi }{5}}={\displaystyle \frac{108\pi }{5}}$$ である。

円 $C$ 全体の面積は $100\pi$ であるから、もう一方の面積は $$100\pi -{\displaystyle \frac{108\pi }{5}}={\displaystyle \frac{392\pi }{5}}$$ である。したがって求める2つの面積は ${\displaystyle \frac{108\pi }{5}},{\displaystyle \frac{392\pi }{5}}$ である。

条件・検算

次の接触時刻 $t=3\pi \mathrm{/}5$ では始点と異なる円周上の点に到達する。二面積の和は $$108\pi \mathrm{/}5+392\pi \mathrm{/}5=100\pi$$ で円 $C$ の面積と一致する。