東京大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

対称軸を $l:y=\alpha x+\beta$ とおく。この直線は $\alpha x-y+\beta =0$ と書ける。点 $(0,y)$ をこの直線に関して対称移動した点を計算すると$$({\displaystyle \frac{2\alpha (y-\beta )}{1+{\alpha }^2}},{\displaystyle \frac{({\alpha }^2-1)y+2\beta }{1+{\alpha }^2}})$$である。

原点 $O=(0,0)$ の像 $Q$ は直線 $y=1$ 上にある。したがって，$y=0$ を代入した像の $y$ 座標から $${\displaystyle \frac{2\beta }{1+{\alpha }^2}}=1$$ を得る。よって $$\beta ={\displaystyle \frac{1+{\alpha }^2}{2}}$$ である。このとき $Q$ の $x$ 座標は $${\displaystyle \frac{2\alpha (0-\beta )}{1+{\alpha }^2}}=-\alpha$$ である。$Q$ は第1象限にあるので $\alpha <0$ である。

次に $P=(0,p)$ の像 $R$ を求める。上の式に $y=p$，$\beta =(1+{\alpha }^2)\mathrm{/}2$ を代入すると
$$R=({\displaystyle \frac{\alpha (2p-1-{\alpha }^2)}{1+{\alpha }^2}},{\displaystyle \frac{{\alpha }^{2}p+{\alpha }^2-p+1}{1+{\alpha }^2}})$$である。$R$ は直線 $y=(\tan \theta )x$ 上にあるから，$R$ の $y$ 座標を $x$ 座標で割って$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{{\alpha }^{2}p+{\alpha }^2-p+1}{\alpha (2p-1-{\alpha }^2)}}$$である。

(2)

原点を通り $l$ に垂直な直線の傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$ である。条件より $$-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{3}}$$ である。そこで $$t=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{3}}$$ とおく。$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より $$0<t<\tan {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ であり，$\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{t}}$ である。

(1) の式に $\alpha =-1\mathrm{/}t$ を代入すると $$\tan \theta ={\displaystyle \frac{t\{p+1-(p-1)t^2\}}{1-(2p-1)t^2}}$$ となる。一方，三倍角の公式より$$\tan \theta =\tan (3\cdot {\displaystyle \frac{\theta }{3}})={\displaystyle \frac{3t-t^3}{1-3t^2}}={\displaystyle \frac{t(3-t^2)}{1-3t^2}}$$である。

条件はどの $\theta$ に対しても成り立つ，すなわちどの $0<t<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ に対しても成り立つことである。$t>0$ なので $t$ を消し，$${\displaystyle \frac{p+1-(p-1)t^2}{1-(2p-1)t^2}}={\displaystyle \frac{3-t^2}{1-3t^2}}$$ が恒等的に成り立つ必要がある。両辺を交差に掛けると $$\{p+1-(p-1)t^2\}(1-3t^2)=(3-t^2)\{1-(2p-1)t^2\}$$ である。定数項を比較して $p+1=3$ だから $p=2$ でなければならない。

実際，$p=2$ とすると ${\displaystyle \frac{t\{3-t^2\}}{1-3t^2}}$ となり，三倍角の公式の値と一致する。さらに $0<t<1\mathrm{/}\sqrt{3}$ では $\alpha =-1\mathrm{/}t<0$ であり，$Q$ は第1象限にある。また $p=2$ のとき $R$ の $x$ 座標も正となり，$\tan \theta >0$ だから $R$ も第1象限にある。

したがって条件を満たす点 $P$ は存在し，その値は $p=2$ である。