東京大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$P=(x,y)$ とおく。$P\mathrm{\ne }A,B,C$ であるから，以下に現れる $PA,PB,PC$ はいずれも $0$ でない。

ベクトルを用いて余弦を表す。$\mathrm{\angle }APC$ は $\overrightarrow{PA}$ と $\overrightarrow{PC}$ のなす角，$\mathrm{\angle }BPC$ は $\overrightarrow{PB}$ と $\overrightarrow{PC}$ のなす角であるから，条件は$${\displaystyle \frac{x^2+y^2-x+y}{\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}}}={\displaystyle \frac{x^2+y^2+x+y}{\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}}}$$である。ここでは両辺とも $\mathrm{\mid }PC\mathrm{\mid }$ で割った後の形になっている。

この式を二乗して分母を払うと，$$(x^2+y^2-x+y{)}^2\{(x+1{)}^2+y^2\}-(x^2+y^2+x+y{)}^2\{(x-1{)}^2+y^2\}=0$$ であり，左辺は $4xy(x^2+y^2-1)$ に因数分解される。したがって候補は $$x=0,y=0,x^2+y^2=1$$ である。

ここからは元の角の条件に戻って調べる。

まず $x=0$ のとき，点 $A$ と $B$ は $y$ 軸に関して対称であり，点 $P$ と $C$ はともに $y$ 軸上にある。したがって $P\mathrm{\ne }C$ ならば $PC$ は対称軸であり，$PC$ は $PA$ と $PB$ のなす角を二等分する。よって条件を満たす。

次に $y=0$ とする。$P$ が線分 $AB$ の外側，すなわち $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ にあるとき，$A$ と $B$ は $P$ から見て同じ向きの半直線上にあるので，$PC$ とのなす角は等しい。一方，$-1<x<1$ では $A$ と $B$ は $P$ をはさんで反対側にある。したがって2つの角は互いに補角になり，等しくなるにはどちらも直角でなければならない。その場合は $PC\perp AB$，すなわち $x=0$ であり，これはすでに $x=0$ の場合に含まれている。$x=\pm 1$ はそれぞれ $A,B$ なので除く。

最後に $x^2+y^2=1$ とする。元の式で二乗前の符号を確認する。単位円上では $$\{(x-1{)}^2+y^2\}=2(1-x),\{(x+1{)}^2+y^2\}=2(1+x)$$ である。$y>0$ ならば $1-x+y$ と $1+x+y$ はともに正であり，二乗して得た等式から元の等式も成り立つ。したがって上半円は条件を満たす。$y<0$ では $$(1-x+y)(1+x+y)=2y(1+y)<0$$ となるので，二乗前の両辺の符号が逆になり，元の等式は成り立たない。$y=0$ の2点は $A,B$ であり除かれる。

以上より，求める軌跡は $$x=0(y\mathrm{\ne }-1),y=0(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1),x^2+y^2=1(y>0)$$ の和集合である。

青：$x=0,y\mathrm{\ne }-1$、紫：$y=0,\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$、橙：$x^2+y^2=1,y>0$。白丸は除外点。

$\mathrm{\angle }APC=\mathrm{\angle }BPC$ なら、点 $C$ は直線 $PA,PB$ のつくる内角または外角の二等分線上にある。そこで $C$ から2直線までの距離を等置し、候補を代数的に出す。ただし距離の等式は内角と外角を区別しないため、最後に元の角条件へ戻って必要な部分だけを残す。

直線 $PA$ と $PB$ の方程式を用いると、点 $C(0,-1)$ からそれぞれの直線までの距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+y-x\mathrm{\mid }}{\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}}},{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+x+y\mathrm{\mid }}{\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}}}$$である。角の二等分線上ではこれらが等しいから、二乗して分母を払うと$$xy(x^2+y^2-1)=0$$を得る。よって候補は $x=0$、$y=0$、$x^2+y^2=1$ である。

距離の等式は外角の二等分線も含むので、元の角へ戻って絞る。$x=0$ では $A,B$ が $y$ 軸対称だから、$P\mathrm{\ne }C$ のすべてが残る。$y=0$ では $A,B$ が $P$ から同じ向きに見える $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ だけが残る。単位円上では二乗前の符号を調べると $y>0$ だけが残る。

したがって軌跡は$$x=0(y\mathrm{\ne }-1),y=0(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1),x^2+y^2=1(y>0)$$の和集合である。