東京大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

放物線 $y=x^2$ 上の2点を $P(u,u^2),Q(v,v^2)$ とおく。線分の傾きが定まっているので $u\mathrm{\ne }v$ としてよい。

傾き $m$ は $$m={\displaystyle \frac{v^2-u^2}{v-u}}=u+v$$ である。また線分の長さ $L$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L^2}& {\displaystyle =(v-u{)}^2+(v^2-u^2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(v-u{)}^2+\{(v-u)(v+u){\}}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(v-u{)}^2\{1+(u+v{)}^2\}}\end{array}$$だから，$$(v-u{)}^2={\displaystyle \frac{L^2}{1+m^2}}$$ である。

中点の $y$ 座標は $$h={\displaystyle \frac{u^2+v^2}{2}}$$ である。ここで $$u^2+v^2={\displaystyle \frac{(u+v{)}^2+(u-v{)}^2}{2}}$$ より，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{(u+v{)}^2+(u-v{)}^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}(m^2+{\displaystyle \frac{L^2}{1+m^2}})\mathrm{.}}\end{array}$$これが求める式である。

(2) $t=1+m^2$ とおくと $t\geqq 1$ であり，(1)の式は $$h={\displaystyle \frac{1}{4}}(t-1+{\displaystyle \frac{L^2}{t}})$$ となる。逆に任意の $t\geqq 1$ に対して $m^2=t-1$ となる $m$ が取れるので，この $t$ の範囲で最小化すればよい。 $$g(t)=t-1+{\displaystyle \frac{L^2}{t}}$$ とおく。$t>0$ で $$g^{\mathrm{\prime }}(t)=1-{\displaystyle \frac{L^2}{t^2}}$$ である。

まず $0<L\leqq 1$ のとき，$t\geqq 1$ では $t\geqq L$ だから $g^{\mathrm{\prime }}(t)\geqq 0$ である。したがって $g(t)$ は $t\geqq 1$ で増加し，最小値は $t=1$ で $g(1)=L^2$ である。よって $$h_{\min }={\displaystyle \frac{L^2}{4}}$$ である。

次に $L\geqq 1$ のとき，$g^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ は $1\leqq t<L$，$g^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ は $t>L$ で成り立つ。したがって最小値は $t=L$ で得られ，$g(L)=L-1+L=2L-1$ である。よって $$h_{\min }={\displaystyle \frac{2L-1}{4}}$$ である。

以上より，$L$ を固定したときの $h$ の最小値は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{L^2}{4}}}& (0<L\leqq 1),\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{2L-1}{4}}}& (L\geqq 1)\end{array}$$である。$L=1$ では2つの式はいずれも $1\mathrm{/}4$ になり，一致する。

$m=u+v$、$(v-u{)}^2=L^2\mathrm{/}(1+m^2)$ として中点の高さ $h$ を表す。

(1) で得た $h$ を $t=1+m^2\geqq 1$ によって表す。$L\geqq 1$ では相加相乗平均により内部の等号点 $t=L$ が使える。$0<L\leqq 1$ ではその点が定義域の外なので、差を因数分解して端点 $t=1$ が最小であることを示す。

(1)
解法1と同様に $P(u,u^2),Q(v,v^2)$ とおくと$$m=u+v,(v-u{)}^2={\displaystyle \frac{L^2}{1+m^2}}$$である。したがって$$h={\displaystyle \frac{1}{4}}(m^2+{\displaystyle \frac{L^2}{1+m^2}})$$を得る。

(2)
$t=1+m^2\geqq 1$ とおけば$$4h=t-1+{\displaystyle \frac{L^2}{t}}\mathrm{.}$$まず $L\geqq 1$ のとき、相加相乗平均より$$t+{\displaystyle \frac{L^2}{t}}\geqq 2L$$であり、等号は $t=L\geqq 1$ で実現する。よって$$h_{\min }={\displaystyle \frac{2L-1}{4}}\mathrm{.}$$次に $0<L\leqq 1$ とする。$t\geqq 1$ に対して$$(t-1+{\displaystyle \frac{L^2}{t}})-L^2={\displaystyle \frac{(t-1)(t-L^2)}{t}}\geqq 0$$であり、等号は $t=1$ で実現する。したがって$$h_{\min }={\displaystyle \frac{L^2}{4}}\mathrm{.}$$以上より$$h_{\min }=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{L^2}{4}}& (0<L\leqq 1),\\ {\displaystyle \frac{2L-1}{4}}& (L\geqq 1)\end{array}$$である。