東京大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=2+2t,{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=1+4t$$だから、$t\mathrm{\ne }-1$ のとき$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{4t+1}{2t+2}}\mathrm{.}$$(2) 条件は$${\displaystyle \frac{4t+1}{2t+2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。これを解くと $t=-2\mathrm{/}5$ となる。よって$$A=(2(-{\displaystyle \frac{2}{5}})+{\displaystyle \frac{4}{25}},-{\displaystyle \frac{2}{5}}+2\cdot {\displaystyle \frac{4}{25}})=(-{\displaystyle \frac{16}{25}},-{\displaystyle \frac{2}{25}})\mathrm{.}$$(3) 媒介表示を変換式へ代入すると$$X={\displaystyle \frac{2(2t+t^2)-(t+2t^2)}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{3t}{\sqrt{5}}},$$$$Y={\displaystyle \frac{(2t+t^2)+2(t+2t^2)}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{4t+5t^2}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$したがって $t=\sqrt{5}X\mathrm{/}3$ を消去して$$Y={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{9}}{X}^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}X\mathrm{.}$$(4) (3)の座標変換は回転であり、得られた式は放物線である。平方完成すると$$Y+{\displaystyle \frac{4}{5\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{9}}{(X+{\displaystyle \frac{6}{5\sqrt{5}}})}^2\mathrm{.}$$よって頂点を元の座標へ戻すと (2)の点 $A=(-16\mathrm{/}25,-2\mathrm{/}25)$ となる。軸は方向ベクトル $(1,2)$ をもち、方程式は$$y=2x+{\displaystyle \frac{6}{5}}$$である。また $t=0$ で原点、$t=-1\mathrm{/}2$ で $(-3\mathrm{/}4,0)$、$t=-2$ で $(0,6)$ を通る。したがって概形は次の通りである。

座標回転により軸方向を見抜き，頂点と通過点を元の座標へ戻して概形を確定する．