東京大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

出発点 $A$ の偏角を0とする。時刻 $t$ における $P,Q,R$ の偏角は，反時計回りを正として $mt,t,-2t$ である。

$\mathrm{△}PQR$ が $PR$ を斜辺とする直角二等辺三角形である条件を円周上の角度で表す。まず，円周上の点 $Q$ で $\mathrm{\angle }PQR={90}^{\circ }$ となるためには，$PR$ が直径であればよい。したがって $P$ と $R$ の偏角の差は奇数倍の $\pi$ であり，$$mt-(-2t)=(m+2)t=(2r+1)\pi$$ と書ける。

さらに，$QP=QR$ でなければならない。$P$ と $R$ が直径の両端であるとき，円周上で $P,R$ から等距離にある点は，$P$ から偏角で $\pi \mathrm{/}2$ または $3\pi \mathrm{/}2$ だけ離れた点である。したがって $$t-mt\equiv \frac{\pi }{2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi )$$ であり，整数 $s$ を用いて $$(m-1)t=\frac{2s+1}{2}\pi$$ と書ける。

よって必要十分条件は $$(m+2)t=(2r+1)\pi ,(m-1)t=\frac{2s+1}{2}\pi$$ である。第1式から $$t=\frac{(2r+1)\pi }{m+2}$$ である。これを第2式に代入すると $\frac{2(m-1)(2r+1)}{m+2}$ が奇数の整数でなければならない。

ここで $0<t<2\pi$ としてよい。$t=0,2\pi$ では3点が出発点に重なり，三角形が退化するからである。したがって $0<2r+1<2(m+2)$ を満たす奇数 $2r+1$ だけを調べればよい。

$q=2r+1$ とおく。$q$ は$$0<q<2(m+2)$$を満たす奇数であり、$$\frac{2(m-1)q}{m+2}$$も奇数でなければならない。$1\leqq m\leqq 10$ を既約化して調べると$$\begin{array}{ccc}m& {\displaystyle \frac{2(m-1)q}{m+2}}& \text{条件を満たす }q\\ 1& 0& \text{なし}\\ 2& {\displaystyle \frac{q}{2}}& \text{なし}\\ 3& {\displaystyle \frac{4q}{5}}& \text{なし}\\ 4& q& 1,3,5,7,9,11\\ 5& {\displaystyle \frac{8q}{7}}& \text{なし}\\ 6& {\displaystyle \frac{5q}{4}}& \text{なし}\\ 7& {\displaystyle \frac{4q}{3}}& \text{なし}\\ 8& {\displaystyle \frac{7q}{5}}& 5,15\\ 9& {\displaystyle \frac{16q}{11}}& \text{なし}\\ 10& {\displaystyle \frac{3q}{2}}& \text{なし}\end{array}$$となる。分母が $q$ を割る場合でも、値が偶数になる行は除いている。

$m=4$ のとき，$$\frac{2(m-1)(2r+1)}{m+2}=\frac{6(2r+1)}{6}=2r+1$$ であり，許される奇数 $2r+1=1,3,5,7,9,11$ のすべてが条件を満たす。よって $$t=\frac{(2r+1)\pi }{6}$$ より$$t=\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2},\frac{11\pi }{6}$$である。

$m=8$ のとき，$$\frac{2(m-1)(2r+1)}{m+2}=\frac{14(2r+1)}{10}=\frac{7(2r+1)}{5}$$ である。これが奇数の整数となるには $2r+1$ が5の倍数であり，許される範囲では $2r+1=5,15$ である。したがって $$t=\frac{5\pi }{10}=\frac{\pi }{2},t=\frac{15\pi }{10}=\frac{3\pi }{2}$$ である。

その他の $m=1,2,3,5,6,7,9,10$ では，上の分数が奇数の整数になる奇数 $2r+1$ は存在しない。

以上より求める組は$$\begin{array}{c}{\displaystyle (m,t)=(4,\frac{\pi }{6}),(4,\frac{\pi }{2}),(4,\frac{5\pi }{6}),(4,\frac{7\pi }{6}),(4,\frac{3\pi }{2}),(4,\frac{11\pi }{6}),}\\ {\displaystyle (8,\frac{\pi }{2}),(8,\frac{3\pi }{2})}\end{array}$$である。

直角二等辺になる配置

$PR$ が直径で、$Q$ がその垂直二等分線上の円周点にある。