東京大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

共有点の $x$ 座標は $-x^2+1=(x-u{)}^2+u$ を満たす。右辺を展開して整理すると $2x^2-2ux+u^2+u-1=0$ である。この2次方程式が実数解をもつ条件は判別式が0以上であることなので $(-2u{)}^2-4\cdot 2(u^2+u-1)\geqq 0$ である。これを整理すると $-4(u^2+2u-2)\geqq 0$ すなわち $u^2+2u-2\leqq 0$ である。

よって $$-1-\sqrt{3}\leqq u\leqq -1+\sqrt{3}$$ であり、$$a=-1-\sqrt{3},b=-1+\sqrt{3}$$ である。

(2) $x_1,x_2$ は $2x^2-2ux+u^2+u-1=0$ の2つの解である。したがって、解と係数の関係より $$x_1+x_2=u,x_1{x}_2=\frac{u^2+u-1}{2}$$ である。また $$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x_1-x_2{)}^2}& {\displaystyle =u^2-2(u^2+u-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-u^2-2u+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3-(u+1{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }=\sqrt{3-(u+1{)}^2}$$ である。

共有点は $C_1$ 上にあるので $$y_i=-x_i^2+1(i=1,2)$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_1{y}_2-x_2{y}_1}& {\displaystyle =x_1(1-x_2^2)-x_2(1-x_1^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x_1-x_2-x_1{x}_2^2+x_2{x}_1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x_1-x_2)+x_1{x}_2(x_1-x_2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x_1-x_2)(1+x_1{x}_2)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$1+x_1{x}_2=1+\frac{u^2+u-1}{2}=\frac{u^2+u+1}{2}$$ である。$u^2+u+1$ は判別式が $-3$ の2次式なので常に正である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2\mathrm{\mid }{x}_1{y}_2-x_2{y}_1\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =2\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }(1+x_1{x}_2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(u^2+u+1)\sqrt{3-(u+1{)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$f(u)=(u^2+u+1)\sqrt{3-(u+1{)}^2}$$ である。

(3)

(1) より積分区間は $$-1-\sqrt{3}\leqq u\leqq -1+\sqrt{3}$$ である。$v=u+1$ とおくと、$u=v-1$ であり、積分区間は $$-\sqrt{3}\leqq v\leqq \sqrt{3}$$ となる。また $$u^2+u+1=(v-1{)}^2+(v-1)+1=v^2-v+1$$ である。したがって $$I={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(v^2-v+1)\sqrt{3-v^2}dv$$ である。

ここで $v\sqrt{3-v^2}$ は奇関数なので $${\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}v\sqrt{3-v^2}dv=0$$ である。よって $$I={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(v^2+1)\sqrt{3-v^2}dv$$ である。

半径 $\sqrt{3}$ の半円の面積より $${\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{3-v^2}dv=\frac{3\pi }{2}$$ である。次に $v=\sqrt{3}\sin \theta$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{v}^2\sqrt{3-v^2}dv}& {\displaystyle ={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}9{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9}{4}{\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2}2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9}{4}\cdot \frac{\pi }{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9\pi }{8}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$I=\frac{9\pi }{8}+\frac{3\pi }{2}=\frac{21\pi }{8}$$ である。

(1) は判別式で共有点条件を求める。(2) は2交点を結ぶ弦の直線を解と係数の関係から求め、原点から弦への距離と弦長で三角形 $O{P}_1{P}_2$ の面積を計算する。(3) は対称区間へ平行移動し、奇関数部分を消す。

(1) 共有点の $x$ 座標は$$2x^2-2ux+u^2+u-1=0$$を満たす。判別式が0以上である条件は$$(-2u{)}^2-8(u^2+u-1)\geqq 0,$$すなわち $u^2+2u-2\leqq 0$ である。よってとなる。

(2) 2根を $x_1,x_2$ とすると$$x_1+x_2=u,x_1{x}_2=\frac{u^2+u-1}{2},\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }=\sqrt{3-(u+1{)}^2}\mathrm{.}$$放物線 $C_1$ 上の弦 $P_1{P}_2$ の傾きは$$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-(x_1+x_2)=-u$$であり、切片は$$y_1+u{x}_1=1-x_1^2+(x_1+x_2)x_1=1+x_1{x}_2=\frac{u^2+u+1}{2}\mathrm{.}$$したがって弦の直線は$$ux+y-\frac{u^2+u+1}{2}=0$$である。原点からこの直線までの距離を $d$、弦長を $L$ とすると$$d=\frac{u^2+u+1}{2\sqrt{u^2+1}},L=\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }\sqrt{u^2+1}\mathrm{.}$$一方、三角形 $O{P}_1{P}_2$ の面積は $\mathrm{\mid }{x}_1{y}_2-x_2{y}_1\mathrm{\mid }\mathrm{/}2=dL\mathrm{/}2$ である。ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2\mathrm{\mid }{x}_1{y}_2-x_2{y}_1\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =2dL}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(u^2+u+1)\sqrt{3-(u+1{)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって(3) $v=u+1$ とおくと$$I={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(v^2-v+1)\sqrt{3-v^2}dv\mathrm{.}$$奇関数部分の積分は0であるから$$I={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(v^2+1)\sqrt{3-v^2}dv\mathrm{.}$$半円の面積と $v=\sqrt{3}\sin \theta$ の置換により$${\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{3-v^2}dv=\frac{3\pi }{2},{\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{v}^2\sqrt{3-v^2}dv=\frac{9\pi }{8}\mathrm{.}$$よってである。