東大 2014年度理系数学第6問｜問題・解答・解説

方針

文科第3問と同じく、 $P = (u, \sqrt{3} u)$ 、 $Q = (u - 3, \sqrt{3} (3 - u))$ と置く。ただし理科版では $Q$ の範囲が $- 2 ≦ x ≦ 0$ なので $1 ≦ u ≦ 2$ に制限される。固定した $s$ に対し、線分 $P Q$ 上で $x = s$ となる点の $t / \sqrt{3}$ を $u$ の2次式 $h_{s} (u)$ として表し、 $0 ≦ s ≦ 1$ と $1 ≦ s ≦ 2$ に分けて端点と頂点を比較する。図示は左右対称性を使って全体を描く。

解答

(1)

点 $P$ を $P = (u, \sqrt{3} u)$ とおく。このとき $O P = 2 u$ である。長さ条件 $O P + O Q = 6$ より、文科第3問と同様に $Q = (u - 3, \sqrt{3} (3 - u))$ となる。

この問題では $Q$ は $- 2 ≦ x ≦ 0$ 上を動くので $- 2 ≦ u - 3 ≦ 0$ である。また $P$ の条件から $0 ≦ u ≦ 2$ である。したがって $1 ≦ u ≦ 2$ である。

線分 $P Q$ 上の点を $(1 - λ) Q + λ P (0 ≦ λ ≦ 1)$ と表す。この点の $x$ 座標が $s$ であるとすると $s = u - 3 + 3 λ$ より $λ = \frac{s - u + 3}{3}$ である。この点の $y$ 座標を $t$ とすると $\begin{aligned} \frac{t}{\sqrt{3}} & = (1 - λ) (3 - u) + λ u \\ = - \frac{2}{3} u^{2} + (\frac{2 s}{3} + 2) u - s . \end{aligned}$ 右辺を $h_{s} (u) = - \frac{2}{3} u^{2} + (\frac{2 s}{3} + 2) u - s$ とおく。これは下向きに開く2次式であり、頂点は $u = \frac{s + 3}{2}$ である。

いま $0 ≦ s ≦ 2$ とする。線分上に $x = s$ の点があるためには $u - 3 ≦ s ≦ u$ が必要であり、 $1 ≦ u ≦ 2$ と合わせる。 $0 ≦ s ≦ 1$ のとき、 $u$ の範囲は $1 ≦ u ≦ 2$ である。頂点 $(s + 3) / 2$ はこの区間に含まれるので、最大値は $h_{s} (\frac{s + 3}{2}) = \frac{s^{2} + 9}{6}$ である。端点の値は $h_{s} (1) = \frac{4 - s}{3}, h_{s} (2) = \frac{s + 4}{3}$ であり、 $0 ≦ s ≦ 1$ では $\frac{4 - s}{3} ≦ \frac{s + 4}{3}$ だから、最小値は $(4 - s) / 3$ である。 $1 ≦ s ≦ 2$ のとき、 $u$ の範囲は $s ≦ u ≦ 2$ である。頂点 $(s + 3) / 2$ は $2$ 以上なので、この区間で $h_{s} (u)$ は増加する。したがって最小値は $h_{s} (s) = s$ であり、最大値は $h_{s} (2) = \frac{s + 4}{3}$ である。

以上より、 $0 ≦ s ≦ 2$ に対する $t$ の範囲は $\sqrt{3} \frac{4 - s}{3} ≦ t ≦ \frac{\sqrt{3}}{6} (s^{2} + 9) (0 ≦ s ≦ 1)$ および $\sqrt{3} s ≦ t ≦ \frac{\sqrt{3}}{3} (s + 4) (1 ≦ s ≦ 2)$ である。

(2)

領域 $D$ は $y$ 軸について対称である。実際、 $u$ に対応する線分 $P Q$ を $y$ 軸で反転すると、 $3 - u$ に対応する線分に移る。 $1 ≦ u ≦ 2$ なら $1 ≦ 3 - u ≦ 2$ であるから、反転後も同じ動きの中に含まれる。

したがって (1) の結果を $∣ s ∣$ を用いて左右に広げればよい。すなわち、領域 $D$ は ${(s, t) ∣ ∣ s ∣ ≦ 1, \sqrt{3} \frac{4 - ∣ s ∣}{3} ≦ t ≦ \frac{\sqrt{3}}{6} (s^{2} + 9)}$ と ${(s, t) ∣ 1 ≦ ∣ s ∣ ≦ 2, \sqrt{3} ∣ s ∣ ≦ t ≦ \frac{\sqrt{3}}{3} (∣ s ∣ + 4)}$ の和集合である。

図では、 $∣ s ∣ ≦ 1$ の部分は下側が折れ線 $t = \frac{\sqrt{3}}{3} (4 - ∣ s ∣)$ で、上側が放物線 $t = \frac{\sqrt{3}}{6} (s^{2} + 9)$ である。 $1 ≦ ∣ s ∣ ≦ 2$ の部分は、下側が $t = \sqrt{3} ∣ s ∣$ で、上側が $t = \frac{\sqrt{3}}{3} (∣ s ∣ + 4)$ である。端点 $s = \pm 2$ では上下の境界が一致し、 $s = \pm 1$ で内側の部分と外側の部分がつながる。

別解

解法2（直線族と包絡線）

方針

線分 $P Q$ を $1 ≦ u ≦ 2$ で動く直線族として扱う。包絡線となる放物線と、端の直線 $u = 1, 2$ 、端点の軌跡を組み合わせて境界を決定し、最後に対称性で全体を得る。

解答

(1) $P = (u, \sqrt{3} u)$ とおけば $Q = (u - 3, \sqrt{3} (3 - u)), 1 ≦ u ≦ 2$ である。線分上の点 $(s, t)$ について $\frac{t}{\sqrt{3}} = - \frac{2}{3} u^{2} + (\frac{2 s}{3} + 2) u - s$ が成り立つ。この2次式の頂点は $u = \frac{s + 3}{2}, \frac{t}{\sqrt{3}} = \frac{s^{2} + 9}{6}$ である。 $1 ≦ u ≦ 2$ より、包絡線が現れるのは $- 1 ≦ s ≦ 1$ である。

$0 ≦ s ≦ 1$ では、下側は端の直線 $u = 1$ $t = \frac{\sqrt{3}}{3} (4 - s)$ で、上側は包絡線である。 $1 ≦ s ≦ 2$ では、下側は点 $P$ の軌跡 $t = \sqrt{3} s$ 、上側は端の直線 $u = 2$ $t = \frac{\sqrt{3}}{3} (s + 4)$ である。よって $\frac{\sqrt{3}}{3} (4 - s) ≦ t ≦ \frac{\sqrt{3}}{6} (s^{2} + 9)$ および $\sqrt{3} s ≦ t ≦ \frac{\sqrt{3}}{3} (s + 4)$ となる。

(2) $u$ を $3 - u$ に替えると線分は $y$ 軸に関して反転するので、領域は左右対称である。したがって (1) を反転した部分も合わせればよい。境界を含む領域は解法1の図の通りである。

総評

難度7、計算量7。目安時間は30分。動く線分の通過領域を縦断面で求める問題で、理科版では $1 ≦ u ≦ 2$ という制限が文科版との違いになる。固定した $s$ に対して $u$ の範囲を正しく出し、 $h_{s} (u)$ の頂点が区間内にあるかどうかで分けるのが核心である。図示では $y$ 軸対称性を使うと全体像が描きやすく、 $∣ s ∣ = 1$ と $∣ s ∣ = 2$ の接続を確認すると境界の取り違えを防げる。左右対称な領域図を追加し、第2解法では包絡線、パラメータ端の直線、端点軌跡を分けて境界を確定した。

出典: 東京大学 2014年度前期第2次学力試験数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

方針

解答

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総評

東京大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系数学第6問