東京大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

命題Aは偽である。実際，$n=17$ とすると$$\frac{{17}^3}{26}+100-{17}^2=\frac{4913}{26}+100-289=\frac{4913-4914}{26}=-\frac{1}{26}<0$$である。したがって $$\frac{{17}^3}{26}+100<{17}^2$$ となり，命題Aの反例が得られる。

命題Bは真である。以下で証明する。まず $s=n+m,d=n-m$ とおく。条件 $5n+5m+3l=1$ は $5s+3l=1$ であるから $3l=1-5s$ である。したがって，示すべき式の左辺は $$10nm+3ml+3nl=10nm+3l(n+m)=10nm+3ls$$ と書ける。ここに $3l=1-5s$ を代入すると $10nm+3ls=10nm+s-5s^2$ である。

さらに $$n=\frac{s+d}{2},m=\frac{s-d}{2}$$ より $$nm=\frac{s^2-d^2}{4}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 10nm+s-5s^2}& {\displaystyle =10\cdot \frac{s^2-d^2}{4}+s-5s^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s-\frac{5}{2}{s}^2-\frac{5}{2}{d}^2}\end{array}$$となる。

ここで $s=0$ とすると条件式から $3l=1$ となり，整数 $l$ が存在しない。したがって $s$ は $0$ でない整数である。ゆえに $s\geqq 1$ のとき $$s-\frac{5}{2}{s}^2\leqq 1-\frac{5}{2}<0$$ であり，$s\leqq -1$ のときも明らかに $s-\frac{5}{2}{s}^2<0$ である。また $-\frac{5}{2}{d}^2\leqq 0$ だから $$10nm+3ml+3nl=s-\frac{5}{2}{s}^2-\frac{5}{2}{d}^2<0$$ が従う。よって命題Bは真である。

命題Aは同じ反例で直ちに否定する。命題Bでは $s,d$ を導入せず、条件式から $3l$ を消去して、示す式を $n$ だけの項と $m$ だけの項の和へ分離する。各項の符号と等号条件を整数性から調べる。

命題Aは偽である。実際、$n=17$ のとき$$\frac{{17}^3}{26}+100-{17}^2=\frac{4913-4914}{26}=-\frac{1}{26}<0$$となるので、$n=17$ が反例である。

次に命題Bを示す。条件式から$$3l=1-5(n+m)$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 10nm+3ml+3nl}& {\displaystyle =10nm+3l(n+m)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =10nm+(n+m)-5(n+m{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(5n^2-n)-(5m^2-m)}\end{array}$$となる。

整数 $k$ に対して$$5k^2-k=k(5k-1)\geqq 0$$である。実際、$k\geqq 1$ なら両因子は正、$k=0$ なら $0$、$k\leqq -1$ なら両因子は負である。また、等号が成り立つ整数は $k=0$ だけである。

よって上の式は $0$ 以下である。もし $0$ なら $n=m=0$ でなければならないが、このとき条件式は $3l=1$ となり、整数 $l$ は存在しない。したがって等号は起こらず$$10nm+3ml+3nl<0$$である。ゆえに命題Bは真である。