東京大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

3つの不等式をすべて満たす集合を $S$ とする。仮定より$$S=\{x\mid x>p\}\mathrm{.}$$(1)

十分大きい正の $x$ は $S$ に属する。もし $a<0$ なら$$a{x}^2+bx+c⟶-\mathrm{\infty }(x\to \mathrm{\infty })$$となって矛盾する。よって $a\geqq 0$ である。同様に第2式、第3式の最高次係数から$$a\geqq 0,b\geqq 0,c\geqq 0$$を得る。

(2)

$a,b,c$ がすべて正だと仮定する。$x=0$ では3式の値がそれぞれ $c,a,b$ だから $0\in S$、したがって $p<0$ である。

一方、$x\to -\mathrm{\infty }$ では3つの二次式はいずれも正の二次項に支配されて正になる。十分小さい $x\leqq p$ も $S$ に入ることになり、$S=(p,\mathrm{\infty })$ に反する。ゆえに $a,b,c$ の少なくとも1個は0である。

(3)

$a=b=c=0$ なら $S$ は空集合になるが、$(p,\mathrm{\infty })$ は空でない。したがって少なくとも1個の係数は正である。

$x>0$ なら、各式は非負の係数 $a,b,c$ に正数 $x^2,x,1$ を掛けた和であり、少なくとも1項は正である。よって$$x>0⟹x\in S\mathrm{.}$$$x=0$ では3式の値は $c,a,b$ であり、少なくとも1個が0だから $0\mathrm{\notin }S$ である。

最後に $x<0$ とし、$t=-x>0$ とおく。たとえば $c=0$ なら、第1式と第3式から$$a{t}^2-bt>0,-at+b>0$$が必要である。前者は $at>b$、後者は $b>at$ を意味し、矛盾する。$a=0$、$b=0$ の場合も添字を巡回させれば同じ矛盾が生じる。したがって負の $x$ は $S$ に属さない。

以上より$$S=(0,\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$これが $(p,\mathrm{\infty })$ と一致するので$$p=0.$$

(1) (2)で非負かつ零係数を含むことを示した後、式の巡回対称性により $a=0$ としてよい。第1式を $L(x)>0$、第2式を $xL(x)>0$ と見ると、共通解には $x>0$ が必要であり、逆も直ちに確認できる。

(1)

すべての十分大きい正の $x$ が3不等式を満たすため、それぞれの二次式の最高次係数は負になれない。よって$$a,b,c\geqq 0.$$(2)

もし $a,b,c>0$ なら $x=0$ は共通解である。また絶対値の十分大きい負の $x$ も、正の二次項が支配的になるため共通解である。この共通解集合は右向き半直線にならない。したがって少なくとも1個は0である。

(3)

3式と係数 $a,b,c$ は巡回対称だから、零係数を $a=0$ としてよい。また3係数がすべて0ではないので、$b,c$ の少なくとも一方は正である。

このとき最初の2不等式は$$bx+c>0,b{x}^2+cx=x(bx+c)>0.$$両方が成り立つなら、第1式の因子 $bx+c$ は正だから、必ず $x>0$ である。

逆に $x>0$ なら$$bx+c>0,x(bx+c)>0,c{x}^2+b>0.$$ここで最後の式も、$b,c$ の少なくとも一方が正なので厳密に正である。したがって共通解集合はちょうど$$(0,\mathrm{\infty })$$であり、$p=0$ となる。