東京大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $0<x<1$ とする。$0<p<1$ より $1-p>0$ であり、$q>0$ だから $qx>0$ である。したがって $1-e^{-qx}>0$ である。よって $$(1-p)x>0,(1-x)(1-e^{-qx})>0$$ となり、$f(x)>0$ である。

次に $f(x)$ を変形する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-p)x+1-x-(1-x)e^{-qx}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-px-(1-x)e^{-qx}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$px>0,(1-x)e^{-qx}>0$$ であるから $f(x)<1$ である。以上より $0<f(x)<1$ が示された。

(2) $0<x<1$ とする。$y>0$ のとき $1-e^{-y}<y$ であるから、$y=qx$ として $1-e^{-qx}<qx$ を得る。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-x}& {\displaystyle =-px+(1-x)(1-e^{-qx})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <-px+(1-x)qx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x\{q(1-x)-p\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x(q-p-qx)\mathrm{.}}\end{array}$$いま $p>q$ なので $q-p-qx<0$ であり、$x>0$ だから $f(x)-x<0$ すなわち $f(x)<x$ である。

(1) より、$0<x_{n-1}<1$ なら $0<x_n<1$ である。はじめ $0<x_0<1$ だから、数学的帰納法によりすべての $n$ で $0<x_n<1$ である。また上で示した $f(x)<x$ より $x_n=f(x_{n-1})<x_{n-1}$ である。したがって $\{x_n\}$ は正で単調減少する数列であり、ある実数 $L\geqq 0$ に収束する。

関数 $f$ は連続なので、漸化式 $x_n=f(x_{n-1})$ の両辺で極限をとると $L=f(L)$ である。もし $L>0$ なら、$0<L<1$ であり、上で示した $f(x)<x$ を $x=L$ に適用して $f(L)<L$ となる。これは $L=f(L)$ に反する。よって $L=0$ である。したがって ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=0$ が示された。

(3) $F(x)=f(x)-x$ とおく。$F$ は連続関数である。まず $$F(1)=f(1)-1=(1-p)-1=-p<0$$ である。

一方、$F(0)=0$ であり、微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =f^{\mathrm{\prime }}(x)-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-p-(1-e^{-qx})+(1-x)q{e}^{-qx}}\end{array}$$である。したがって $F^{\mathrm{\prime }}(0)=-p+q=q-p>0$ である。よって $0$ に十分近い正の数 $d$ をとれば $F(d)>0$ となる。

以上より $F(d)>0,F(1)<0$ である。連続関数 $F$ に中間値の定理を用いると、ある $c$ が $d<c<1$ を満たして $F(c)=0$ となる。これは $f(c)=c$ を意味する。したがって $$c=f(c),0<c<1\text{ を満たす実数 }c\text{ が存在する}$$ ことが示された。