東大 2019年度理系数学第5問｜問題・解答・解説

方針

まず方程式の実数解が存在し得る範囲を絞る。 $∣ x ∣ > 1$ や $x < 0$ では左辺と右辺の大きさ・符号が合わないので、解は $0 < x < 1$ に限られる。この区間で $x^{2 n - 1} - \cos x$ が連続かつ単調増加であることから一意性を示す。(2)は $0 < a_{n} < 1$ と $\cos x$ の単調性で終わる。(3)は方程式を $a_{n}^{2 n - 1} = \cos a_{n}$ と見て、まず $a_{n} \to 1$ をはさみうちで示す。さらに両辺に $a_{n}$ を掛けて $a_{n}^{n} = \sqrt{a_{n} \cos a_{n}}$ と表せば、 $b$ と最後の差商は1変数関数 $g (x) = \sqrt{x \cos x}$ の値と微分係数に帰着する。

解答

(1)
方程式 $x^{2 n - 1} = \cos x$ を考える。

まず解の範囲を絞る。 $x > 1$ なら左辺は1より大きく、右辺は1以下なので解はない。 $x < - 1$ なら左辺は $- 1$ より小さく、右辺は $- 1$ 以上なので解はない。また $- 1 ≦ x < 0$ では、左辺は負である一方、 $\cos x ≧ \cos 1 > 0$ なので解はない。 $x = 0$ でも左辺は0、右辺は1であり解ではない。

したがって解は $0 < x ≦ 1$ の範囲で考えればよい。関数 $f (x) = x^{2 n - 1} - \cos x$ を $0 ≦ x ≦ 1$ で考えると、 $f$ は連続で $f (0) = - 1 < 0, f (1) = 1 - \cos 1 > 0$ である。よって中間値の定理により少なくとも1つ解をもつ。

さらに $f^{'} (x) = (2 n - 1) x^{2 n - 2} + \sin x$ であり、 $0 < x ≦ 1$ では $f^{'} (x) > 0$ である。したがって $f$ は $0 < x ≦ 1$ で狭義単調増加であり、解は高々1つである。

以上より、方程式はただ一つの実数解 $a_{n}$ をもつ。

(2)
(1)の議論から $0 < a_{n} < 1$ である。 $\cos x$ は $0 ≦ x ≦ 1$ で単調減少するので $\cos a_{n} > \cos 1$ である。

(3)
定義より $a_{n}^{2 n - 1} = \cos a_{n}$ である。(2)から $\cos a_{n} > \cos 1$ なので $a_{n}^{2 n - 1} > \cos 1$ である。 $0 < a_{n} < 1$ と合わせると $(\cos 1)^{\frac{1}{2 n - 1}} < a_{n} < 1$ である。 $n \to \infty$ とすると左端は1に近づくから、はさみうちにより $a = \lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$ である。

次に、方程式の両辺に $a_{n}$ を掛けると $a_{n}^{2 n} = a_{n} \cos a_{n}$ である。 $a_{n} > 0$ なので $a_{n}^{n} = \sqrt{a_{n} \cos a_{n}}$ と書ける。よって $b = \lim_{n \to \infty} a_{n}^{n} = \sqrt{\cos 1}$ である。

最後に $g (x) = \sqrt{x \cos x}$ とおく。上で示したように $a_{n}^{n} = g (a_{n})$ 、 $b = g (1)$ 、 $a = 1$ であるから $c = \lim_{n \to \infty} \frac{g (a_{n}) - g (1)}{a_{n} - 1}$ である。 $a_{n} \to 1$ かつ $a_{n} \neq 1$ なので、この極限は $g^{'} (1)$ に等しい。

微分すると $g^{'} (x) = \frac{\cos x - x \sin x}{2 \sqrt{x \cos x}}$ である。したがって $c = \frac{\cos 1 - \sin 1}{2 \sqrt{\cos 1}}$ である。

別解

解法2

方針

存在・一意性は $x^{2 n - 1}$ の増加と $\cos x$ の減少を比較する。最後の極限は平方差で分子を有理化し、余弦の差商へ直接帰着する。

解答

(1)
解は符号と大きさから $0 < x < 1$ に限られる。この区間で $x^{2 n - 1}$ は狭義増加し、 $\cos x$ は狭義減少する。また $0^{2 n - 1} < \cos 0, 1^{2 n - 1} > \cos 1.$ 連続性より交点は存在し、単調性よりただ1つである。これを $a_{n}$ とする。

(2)
$0 < a_{n} < 1$ と $\cos x$ の単調減少性から $\cos a_{n} > \cos 1.$ (3)
方程式と(2)より $(\cos 1)^{1 / (2 n - 1)} < a_{n} < 1.$ したがって $a_{n} \to 1$ 、すなわち $a = 1$ である。また $a_{n}^{2 n} = a_{n} \cos a_{n}$ だから $a_{n}^{n} = \sqrt{a_{n} \cos a_{n}} ⟶ \sqrt{\cos 1} .$ よって $b = \sqrt{\cos 1}$ である。

最後に平方差を使うと $\begin{aligned} \frac{a_{n}^{n} - b}{a_{n} - 1} & = \frac{a_{n}^{2 n} - b^{2}}{(a_{n} - 1) (a_{n}^{n} + b)} \\ = \frac{a_{n} \cos a_{n} - \cos 1}{(a_{n} - 1) (a_{n}^{n} + b)} \\ = \frac{\cos a_{n} + a_{n} \frac{\cos a_{n} - \cos 1}{a_{n} - 1}}{a_{n}^{n} + b} . \end{aligned}$ ここで余弦の差商は $- \sin 1$ に収束するので $c = \frac{\cos 1 - \sin 1}{2 \sqrt{\cos 1}} .$

総評

難度7、目安時間25分。一意性は単調性で自然に示せるが、先に解の範囲を $0 < x < 1$ に絞る必要がある。(3)は $a_{n} \to 1$ を示すだけならはさみうちでよいが、 $a_{n}^{n}$ の極限には $a_{n}^{2 n} = a_{n} \cos a_{n}$ と変形する観察が必要である。最後の $c$ は数列の細かい近似を直接出そうとせず、 $a_{n}^{n} = g (a_{n})$ と見て差商を微分係数に帰着するのが最短である。大学範囲の展開を使わずに処理できる。

出典: 東京大学 2019年度第2次学力試験数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東京大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系数学第5問