東京大学 2017年度理系数学第1問解答・解説

問題

実数 $a, b$ に対して

f (θ) = cos 3 θ + a cos 2 θ + b cos θ

とし， $0 < θ < π$ で定義された関数

g (θ) = \frac{f ( θ ) - f ( 0 )}{cos θ - 1}

を考える。

(1) $f (θ)$ と $g (θ)$ を $x = cos θ$ の整式で表せ。

(2) $g (θ)$ が $0 < θ < π$ の範囲で最小値0をとるための $a, b$ についての条件を求めよ。また，条件を満たす点 $(a, b)$ が描く図形を座標平面上に図示せよ。

出典：東京大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

$x = cos θ$ とおくと， $0 < θ < π$ から $- 1 < x < 1$ である。三倍角・二倍角の公式で $f$ を $x$ の3次式に直し， $f (x) - f (0)$ が $x - 1$ で割れることを使って $g$ を2次式にする。(2)では，上に開く2次関数が開区間 $(- 1, 1)$ で最小値0を実際にとる条件を考える。端点では値をとれないため，頂点が区間内にあり，頂点値が0であることが必要十分である。

解法2

$g$ を $x = cos θ$ の2次式にしたあと，平方完成して「最小値0」を完全平方の形として読む。頂点が開区間 $(- 1, 1)$ に入る条件と定数項0を同時に課し，端点を除いた放物線を図示する。

解答

解法1

(1)

$x = cos θ$ とおく。 $0 < θ < π$ より $- 1 < x < 1$ である。また $cos 2 θ = 2 x^{2} - 1, cos 3 θ = 4 x^{3} - 3 x$ であるから $f (θ) = 4 x^{3} + 2 a x^{2} + (b - 3) x - a$ である。

一方， $f (0) = 1 + a + b$ である。したがって $f (θ) - f (0) = 4 x^{3} + 2 a x^{2} + (b - 3) x - a - (1 + a + b)$ であり，これは $x = 1$ で0になるので $x - 1$ を因数にもつ。実際に割ると $f (θ) - f (0) = (x - 1) {4 x^{2} + (2 a + 4) x + b + 2 a + 1}$ である。 $0 < θ < π$ では $x \neq = 1$ なので $g (θ) = 4 x^{2} + (2 a + 4) x + b + 2 a + 1$ である。

(2)

$G (x) = 4 x^{2} + (2 a + 4) x + b + 2 a + 1 (- 1 < x < 1)$ とおく。これは上に開く2次関数であり，頂点の $x$ 座標は $x_{0} = - \frac{2 a + 4}{8} = - \frac{a + 2}{4}$ である。 $G (x)$ が開区間 $(- 1, 1)$ で最小値0をとるためには，最小点である頂点がこの開区間に入り，かつ頂点値が0であることが必要十分である。端点 $x = - 1, 1$ は範囲に含まれないので，端点でだけ0になる場合は「最小値をとる」ことにはならない。

まず $- 1 < - \frac{a + 2}{4} < 1$ より $- 6 < a < 2$ である。次に頂点値は $G (x_{0}) = b + 2 a + 1 - \frac{( 2 a + 4 ) ^{2}}{16}$ であるから， $G (x_{0}) = 0$ より $b + 2 a + 1 - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{4} = 0$ を得る。整理して $b = \frac{a ^{2}}{4} - a$ である。

したがって求める条件は $- 6 < a < 2, b = \frac{a ^{2}}{4} - a$ である。座標平面上では，放物線 $b = a^{2} /4 - a$ のうち， $a = - 6$ と $a = 2$ に対応する端点を除いた部分である。

解法2

(1)

三倍角・二倍角の公式から

f (θ) = 4 x^{3} + 2 a x^{2} + (b - 3) x - a

である。また $f (0) = 1 + a + b$ なので

f (θ) - f (0) g (θ) = (x - 1) {4 x^{2} + (2 a + 4) x + b + 2 a + 1}, = 4 x^{2} + (2 a + 4) x + b + 2 a + 1.

ここで $0 < θ < π$ より $- 1 < x < 1$ である。

(2)

平方完成すると

g (θ) = 4 (x + \frac{a + 2}{4})^{2} + b + 2 a + 1 - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{4} .

この2次式が $- 1 < x < 1$ で最小値0を実際にとるための必要十分条件は

- 1 < - \frac{a + 2}{4} < 1, b + 2 a + 1 - \frac{( a + 2 ) ^{2}}{4} = 0

である。したがって

- 6 < a < 2, b = \frac{a ^{2}}{4} - a .

求める図形は，放物線 $b = a^{2} /4 - a$ のうち，端点 $(- 6, 15)$ ， $(2, - 1)$ を除いた部分である。

東京大学 2017年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東京大学 2017年度
理系数学第1問