東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x=\cos \theta$ とおく。$0<\theta <\pi$より $-1<x<1$ である。また $$\cos 2\theta =2x^2-1,\cos 3\theta =4x^3-3x$$ であるから $$f(\theta )=4x^3+2a{x}^2+(b-3)x-a$$ である。

一方，$f(0)=1+a+b$である。したがって $$f(\theta )-f(0)=4x^3+2a{x}^2+(b-3)x-a-(1+a+b)$$ であり，これは$x=1$で0になるので$x-1$を因数にもつ。実際に割ると $$f(\theta )-f(0)=(x-1)\{4x^2+(2a+4)x+b+2a+1\}$$ である。$0<\theta <\pi$では$x\mathrm{\ne }1$なので $$g(\theta )=4x^2+(2a+4)x+b+2a+1$$ である。

(2) $$G(x)=4x^2+(2a+4)x+b+2a+1(-1<x<1)$$ とおく。これは上に開く2次関数であり，頂点の$x$座標は $$x_0=-\frac{2a+4}{8}=-\frac{a+2}{4}$$ である。 $G(x)$が開区間$(-1,1)$で最小値0をとるためには，最小点である頂点がこの開区間に入り，かつ頂点値が0であることが必要十分である。端点$x=-1,1$は範囲に含まれないので，端点でだけ0になる場合は「最小値をとる」ことにはならない。

まず $$-1<-\frac{a+2}{4}<1$$ より $-6<a<2$ である。次に頂点値は $$G(x_0)=b+2a+1-\frac{(2a+4{)}^2}{16}$$ であるから，$G(x_0)=0$より $$b+2a+1-\frac{(a+2{)}^2}{4}=0$$ を得る。整理して $$b=\frac{a^2}{4}-a$$ である。

したがって求める条件は $$-6<a<2,b=\frac{a^2}{4}-a$$ である。座標平面上では，放物線$b=a^2\mathrm{/}4-a$のうち，$a=-6$と$a=2$に対応する端点を除いた部分である。

$g$を$x=\cos \theta$の2次式にしたあと，平方完成して「最小値0」を完全平方の形として読む。頂点が開区間$(-1,1)$に入る条件と定数項0を同時に課し，端点を除いた放物線を図示する。

(1) 三倍角・二倍角の公式から$$f(\theta )=4x^3+2a{x}^2+(b-3)x-a$$である。また$f(0)=1+a+b$なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\theta )-f(0)}& {\displaystyle =(x-1)\{4x^2+(2a+4)x+b+2a+1\},}\\ {\displaystyle g(\theta )}& {\displaystyle =4x^2+(2a+4)x+b+2a+1.}\end{array}$$ここで$0<\theta <\pi$より$-1<x<1$である。

(2) 平方完成すると$$g(\theta )=4{(x+\frac{a+2}{4})}^2+b+2a+1-\frac{(a+2{)}^2}{4}\mathrm{.}$$この2次式が$-1<x<1$で最小値0を実際にとるための必要十分条件は$$-1<-\frac{a+2}{4}<1,b+2a+1-\frac{(a+2{)}^2}{4}=0$$である。したがって$$-6<a<2,b=\frac{a^2}{4}-a\mathrm{.}$$求める図形は，放物線$b=a^2\mathrm{/}4-a$のうち，端点$(-6,15)$，$(2,-1)$を除いた部分である。