東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
点$z$が，原点$O$と点$\alpha$を結ぶ線分の垂直二等分線$L$上にあることは $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-\alpha \mathrm{\mid }$ と表せる。両辺を2乗して整理すると $$z\bar{z}=(z-\alpha )(\bar{z}-\bar{\alpha })$$ より $$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$$ である。 $w=1\mathrm{/}z$なので$z=1\mathrm{/}w$であり，$w\mathrm{\ne }0$である。これを代入すると $$\frac{\bar{\alpha }}{w}+\frac{\alpha }{\bar{w}}=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$$ である。両辺に$\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2=w\bar{w}$をかけると $$\bar{\alpha }\bar{w}+\alpha w=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2$$ を得る。これを平方完成すると $${\mid w-\frac{1}{\alpha }\mid }^2=\frac{1}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}$$ である。

したがって円の中心は $\frac{1}{\alpha }$ 半径は $\frac{1}{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}$ である。ただし$w=0$はどの有限の$z$にも対応しないので，この円から点$0$を除いたものが軌跡である。

(2)
1の3乗根のうち虚部が正であるものは $$\beta =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ であり，$${\beta }^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ である。したがって線分$\beta {\beta }^2$は，直線 $$\mathrm{Re}z=-\frac{1}{2}$$ 上で $$-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq \mathrm{Im}z\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$$ を満たす部分である。

この直線は，原点と点$-1$を結ぶ線分の垂直二等分線である。よって(1)で$\alpha =-1$とした円 $\mathrm{\mid }w+1\mathrm{\mid }=1$ 上に移る。

あとは，線分のどの部分に対応する弧かを確認する。端点では$$z=\beta \Rightarrow w=\frac{1}{\beta }={\beta }^2,z={\beta }^2\Rightarrow w=\frac{1}{{\beta }^2}=\beta$$である。また線分の中点$z=-1\mathrm{/}2$では $w=-2$ である。したがって軌跡は，円$\mathrm{\mid }w+1\mathrm{\mid }=1$のうち，$\beta$と${\beta }^2$を結び，点$-2$を通る弧である。

すなわち $$\mathrm{\mid }w+1\mathrm{\mid }=1,\mathrm{Re}w\leqq -\frac{1}{2}$$ を満たす部分であり，両端$w=\beta ,{\beta }^2$を含む。

(1) は$\alpha =A+Bi$，$w=u+vi$と成分表示し，反転後の方程式を円の標準形にする。(2)は線分を$z=-1\mathrm{/}2+ti$と媒介し，$w=1\mathrm{/}z$の実部・虚部から円と弧の範囲を直接決める。

(1) $\alpha =A+Bi$，$w=u+vi$とおく。垂直二等分線の条件は$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-\alpha \mathrm{\mid }$$であり，整理すると$$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$$となる。$z=1\mathrm{/}w$を代入し，両辺に$\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2$を掛けると$$\alpha w+\bar{\alpha }\bar{w}=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$成分で書けば$$(A^2+B^2)(u^2+v^2)-2(Au-Bv)=0.$$よって$${(u-\frac{A}{A^2+B^2})}^2+{(v+\frac{B}{A^2+B^2})}^2=\frac{1}{A^2+B^2}\mathrm{.}$$したがって中心は複素数$1\mathrm{/}\alpha$が表す点，半径は$1\mathrm{/}\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$である。ただし$w=0$は$z=1\mathrm{/}w$に対応しないので除く。

(2) 線分$\beta {\beta }^2$は$$z=-\frac{1}{2}+ti,-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$$と表せる。したがって$$w=\frac{1}{z}=\frac{-\frac{1}{2}-ti}{\frac{1}{4}+t^2}\mathrm{.}$$$w=u+vi$とすると$$u=-\frac{1}{2(\frac{1}{4}+t^2)},v=-\frac{t}{\frac{1}{4}+t^2}\mathrm{.}$$これらから$$(u+1{)}^2+v^2=1,-2\leqq u\leqq -\frac{1}{2}$$を得る。よって軌跡は円$\mathrm{\mid }w+1\mathrm{\mid }=1$のうち$$\mathrm{Re}w\leqq -1\mathrm{/}2$$の弧で，両端$\beta ,{\beta }^2$を含む。