東京大学 2017年度
理系数学 第3問

解答

解法1

(1)

点$z$が，原点$O$と点$\alpha$を結ぶ線分の垂直二等分線$L$上にあることは $|z|=|z-\alpha |$ と表せる。両辺を2乗して整理すると $z\bar{z}=(z-\alpha )(\bar{z}-\bar{\alpha })$ より $\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=|\alpha {|}^2$ である。 $w=1/z$なので$z=1/w$であり，$w\ne 0$である。これを代入すると $\frac{\bar{\alpha }}{w}+\frac{\alpha }{\bar{w}}=|\alpha {|}^2$ である。両辺に$|w{|}^2=w\bar{w}$をかけると $\bar{\alpha }\bar{w}+\alpha w=|\alpha {|}^2|w{|}^2$ を得る。これを平方完成すると ${\left|w-\frac{1}{\alpha }\right|}^2=\frac{1}{|\alpha {|}^2}$ である。

したがって円の中心は $\frac{1}{\alpha }$ 半径は $\frac{1}{|\alpha |}$ である。ただし$w=0$はどの有限の$z$にも対応しないので，この円から点$0$を除いたものが軌跡である。

(2)

1の3乗根のうち虚部が正であるものは $\beta =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ であり，${\beta }^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。したがって線分$\beta {\beta }^2$は，直線 $\mathrm{Re}z=-\frac{1}{2}$ 上で $-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq \mathrm{Im}z\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす部分である。

この直線は，原点と点$-1$を結ぶ線分の垂直二等分線である。よって(1)で$\alpha =-1$とした円 $|w+1|=1$ 上に移る。

あとは，線分のどの部分に対応する弧かを確認する。端点では

である。また線分の中点$z=-1/2$では $w=-2$ である。したがって軌跡は，円$|w+1|=1$のうち，$\beta$と${\beta }^2$を結び，点$-2$を通る弧である。

すなわち $|w+1|=1,\mathrm{Re}w\leqq -\frac{1}{2}$ を満たす部分であり，両端$w=\beta ,{\beta }^2$を含む。

解法2

(1)

$\alpha =A+Bi$，$w=u+vi$とおく。垂直二等分線の条件は

であり，整理すると$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=|\alpha {|}^2$となる。$z=1/w$を代入し，両辺に$|w{|}^2$を掛けると

成分で書けば

よって

したがって中心は複素数$1/\alpha$が表す点，半径は$1/|\alpha |$である。ただし$w=0$は$z=1/w$に対応しないので除く。

(2)

線分$\beta {\beta }^2$は

と表せる。したがって

$w=u+vi$とすると

これらから

を得る。よって軌跡は円$|w+1|=1$のうち$\mathrm{Re}w\leqq -1/2$の弧で，両端$\beta ,{\beta }^2$を含む。