東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$q=-1\mathrm{/}p$とおく。$p=2+\sqrt{5}$であるから $$q=-\frac{1}{2+\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}$$ である。したがって $p+q=4,pq=-1$ であり，$a_n=p^n+q^n$と書ける。

(1) $a_1=p+q=4$ である。また $$a_2=p^2+q^2=(p+q{)}^2-2pq=4^2-2(-1)=18$$ である。

(2) $a_1{a}_n=(p+q)(p^n+q^n)$ である。右辺を展開すると $p^{n+1}+q^{n+1}+p{q}^n+q{p}^n$ であるが，$$p{q}^n+q{p}^n=pq(q^{n-1}+p^{n-1})=-a_{n-1}$$ である。よって $a_1{a}_n=a_{n+1}-a_{n-1}$ である。$a_1=4$なので，これは $4a_n=a_{n+1}-a_{n-1}$ とも書ける。

(3)
(2)より，$n\geqq 2$で $a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}$ が成り立つ。初期値は $a_1=4,a_2=18$ であり，どちらも自然数である。

いま$a_{n-1}$と$a_n$が自然数であると仮定すると，漸化式から $a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}$ も自然数である。したがって数学的帰納法により，すべての自然数$n$について$a_n$は自然数である。

(4) $d_n$を$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数とする。漸化式より $a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}$ であるから，$a_{n+1}$と$a_n$の公約数は，$a_{n-1}$と$a_n$の公約数と一致する。実際，一方を割り切る整数は差 $a_{n+1}-4a_n=a_{n-1}$ も割り切り，逆も同様である。

したがって $d_n=d_{n-1}=\cdots =d_1$ である。最後に $$d_1=\gcd (a_2,a_1)=\gcd (18,4)=2$$ である。よって，任意の自然数$n$について，$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数は $2$ である。

$p$と$2-\sqrt{5}=-1\mathrm{/}p$がともに方程式$X^2-4X-1=0$の解であることから，べき乗を足して漸化式を直接得る。(4)では$a_n=2b_n$と正規化し，連続する$b_n$が互いに素であることを互除法で示す。

$r=2-\sqrt{5}$とおくと$r=-1\mathrm{/}p$であり，$p,r$はいずれも$$X^2-4X-1=0$$の解である。よって$u=p,r$について$u^{n+1}=4u^n+u^{n-1}$が成り立つ。両式を加えると$$a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}(n\geqq 2)$$を得る。

(1) $$a_1=p+r=4,a_2=(p+r{)}^2-2pr=16+2=18.$$(2) 上の漸化式と$a_1=4$から$$a_1{a}_n=4a_n=a_{n+1}-a_{n-1}\mathrm{.}$$(3) $a_1=4,a_2=18$は自然数である。$a_{n-1},a_n$が自然数なら$$a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}$$も自然数だから，数学的帰納法によりすべての$a_n$は自然数である。

(4) $b_n=a_n\mathrm{/}2$とおく。初期値は$b_1=2,b_2=9$で，上の漸化式からすべての$b_n$は整数である。また$$\gcd (b_{n+1},b_n)=\gcd (4b_n+b_{n-1},b_n)=\gcd (b_n,b_{n-1})\mathrm{.}$$これを繰り返すと$$\gcd (b_{n+1},b_n)=\gcd (b_2,b_1)=\gcd (9,2)=1.$$したがって$$\gcd (a_{n+1},a_n)=2\gcd (b_{n+1},b_n)=2$$である。