東京大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
直線$y=ax+b$が$C:y=x^2+k$に接する条件を考える。交点の$x$座標は $x^2+k=ax+b$ すなわち $x^2-ax+k-b=0$ を満たす。接するためにはこの2次方程式が重解をもてばよいので $a^2-4(k-b)=0$ である。したがって $$b=k-\frac{a^2}{4}$$ を得る。

次に$D:x=y^2+k$に接する条件を考える。$a=0$なら直線は水平線であるが，$D$の接線にはならないので$a\mathrm{\ne }0$である。直線$y=ax+b$から $$x=\frac{y-b}{a}$$ であり，これを$D$へ代入すると $$\frac{y-b}{a}=y^2+k$$ すなわち $a{y}^2-y+ak+b=0$ となる。接する条件は判別式0だから $1-4a(ak+b)=0$ である。

ここに$b=k-a^2\mathrm{/}4$を代入すると $$1-4a\{ak+k-\frac{a^2}{4}\}=0$$ すなわち $1-4ak(a+1)+a^3=0$ である。$a\mathrm{\ne }-1$より $$k=\frac{a^3+1}{4a(a+1)}=\frac{a^2-a+1}{4a}$$ である。また$$b=k-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2-a+1}{4a}-\frac{a^2}{4}=\frac{(1-a)(a^2+1)}{4a}$$である。

(2)
傾きが2の共通接線が存在するので，(1)に$a=2$を代入して $$k=\frac{2^2-2+1}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}$$ である。

まず$a\mathrm{\ne }-1$の共通接線を求める。$k=3\mathrm{/}8$を(1)の式に代入すると $$\frac{a^2-a+1}{4a}=\frac{3}{8}$$ である。$a\mathrm{\ne }0$より両辺に$8a$をかけて $2a^2-5a+2=0$ を得る。したがって $a=2,a=\frac{1}{2}$ である。対応する切片は $$a=2:b=\frac{(1-2)(2^2+1)}{4\cdot 2}=-\frac{5}{8},$$ $$a=\frac{1}{2}:b=\frac{(1-1\mathrm{/}2)((1\mathrm{/}2{)}^2+1)}{4\cdot (1\mathrm{/}2)}=\frac{5}{16}$$ である。

次に，(1)で除外された$a=-1$を調べる。$C$に傾き$-1$で接する直線は $$b=k-\frac{(-1{)}^2}{4}=k-\frac{1}{4}$$ より $y=-x+k-\frac{1}{4}$ である。$D$との接点条件を見るため，$x=y^2+k$と$y=-x+k-1\mathrm{/}4$を連立する。直線から$x=-y+k-1\mathrm{/}4$であるから $-y+k-\frac{1}{4}=y^2+k$ すなわち $y^2+y+\frac{1}{4}=0$ であり，これは重解をもつ。したがってこの直線も共通接線である。

いま$k=3\mathrm{/}8$なので，このときの切片は $$b=\frac{3}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$$ である。以上より，共通接線は3本で，傾きと$y$切片は$$(a,b)=(2,-\frac{5}{8}),(\frac{1}{2},\frac{5}{16}),(-1,\frac{1}{8})$$である。

2つの放物線の接点をそれぞれ媒介変数で置き，接線公式から傾きと切片を直接比較する。判別式を使わずに$k,b$を得て，$a=-1$も同じ接線パラメータで別に回収する。

(1) $C$上の接点の$x$座標を$r$とすると，接線は$$y=2rx+k-r^2\mathrm{.}$$したがって$a=2r$，$b=k-a^2\mathrm{/}4$である。

一方，$D:x=y^2+k$上の接点の$y$座標を$s$とすると，接線は$$x=2sy-s^2+k\mathrm{.}$$これを$y=ax+b$の形に直せる共通接線では$s\mathrm{\ne }0$であり，$$a=\frac{1}{2s},b=\frac{s^2-k}{2s}=\frac{1}{4a}-ak$$となる。2つの切片を等置して$$k-\frac{a^2}{4}=\frac{1}{4a}-ak\mathrm{.}$$共通接線では$a\mathrm{\ne }0$であり，さらに$a\mathrm{\ne }-1$だから$$k=\frac{a^2-a+1}{4a},b=\frac{(1-a)(a^2+1)}{4a}\mathrm{.}$$(2) 傾き2の共通接線があるので$$k=\frac{2^2-2+1}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}\mathrm{.}$$$a\mathrm{\ne }-1$では$$\frac{a^2-a+1}{4a}=\frac{3}{8}⟺2a^2-5a+2=0,$$よって$a=2,1\mathrm{/}2$である。切片はそれぞれ$-5\mathrm{/}8,5\mathrm{/}16$となる。

残る$a=-1$では，$C$の接点は$r=-1\mathrm{/}2$，$D$の接点は$s=-1\mathrm{/}2$であり，どちらの接線も$$y=-x+k-\frac{1}{4}=-x+\frac{1}{8}$$となる。したがって3本の共通接線の傾きと切片は$$(a,b)=(2,-\frac{5}{8}),(\frac{1}{2},\frac{5}{16}),(-1,\frac{1}{8})$$である。