東京大学 2017年度
理系数学 第5問

解答

解法1

(1)

直線$y=ax+b$が$C:y=x^2+k$に接する条件を考える。交点の$x$座標は $x^2+k=ax+b$ すなわち $x^2-ax+k-b=0$ を満たす。接するためにはこの2次方程式が重解をもてばよいので $a^2-4(k-b)=0$ である。したがって $b=k-\frac{a^2}{4}$ を得る。

次に$D:x=y^2+k$に接する条件を考える。$a=0$なら直線は水平線であるが，$D$の接線にはならないので$a\ne 0$である。直線$y=ax+b$から $x=\frac{y-b}{a}$ であり，これを$D$へ代入すると $\frac{y-b}{a}=y^2+k$ すなわち $a{y}^2-y+ak+b=0$ となる。接する条件は判別式0だから $1-4a(ak+b)=0$ である。

ここに$b=k-a^2/4$を代入すると $1-4a\left\{ak+k-\frac{a^2}{4}\right\}=0$ すなわち $1-4ak(a+1)+a^3=0$ である。$a\ne -1$より $k=\frac{a^3+1}{4a(a+1)}=\frac{a^2-a+1}{4a}$ である。また

である。

(2)

傾きが2の共通接線が存在するので，(1)に$a=2$を代入して $k=\frac{2^2-2+1}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}$ である。

まず$a\ne -1$の共通接線を求める。$k=3/8$を(1)の式に代入すると $\frac{a^2-a+1}{4a}=\frac{3}{8}$ である。$a\ne 0$より両辺に$8a$をかけて $2a^2-5a+2=0$ を得る。したがって $a=2,a=\frac{1}{2}$ である。対応する切片は $a=2:b=\frac{(1-2)(2^2+1)}{4\cdot 2}=-\frac{5}{8},$ $a=\frac{1}{2}:b=\frac{(1-1/2)((1/2{)}^2+1)}{4\cdot (1/2)}=\frac{5}{16}$ である。

次に，(1)で除外された$a=-1$を調べる。$C$に傾き$-1$で接する直線は $b=k-\frac{(-1{)}^2}{4}=k-\frac{1}{4}$ より $y=-x+k-\frac{1}{4}$ である。$D$との接点条件を見るため，$x=y^2+k$と$y=-x+k-1/4$を連立する。直線から$x=-y+k-1/4$であるから $-y+k-\frac{1}{4}=y^2+k$ すなわち $y^2+y+\frac{1}{4}=0$ であり，これは重解をもつ。したがってこの直線も共通接線である。

いま$k=3/8$なので，このときの切片は $b=\frac{3}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$ である。以上より，共通接線は3本で，傾きと$y$切片は

である。

解法2

(1)

$C$上の接点の$x$座標を$r$とすると，接線は

したがって$a=2r$，$b=k-a^2/4$である。

一方，$D:x=y^2+k$上の接点の$y$座標を$s$とすると，接線は

これを$y=ax+b$の形に直せる共通接線では$s\ne 0$であり，

となる。2つの切片を等置して

共通接線では$a\ne 0$であり，さらに$a\ne -1$だから

(2)

傾き2の共通接線があるので

$a\ne -1$では

よって$a=2,1/2$である。切片はそれぞれ$-5/8,5/16$となる。

残る$a=-1$では，$C$の接点は$r=-1/2$，$D$の接点は$s=-1/2$であり，どちらの接線も

となる。したがって3本の共通接線の傾きと切片は

である。