東京大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ を

a_{n} = \frac{_{2 n} C _{n}}{n !} (n = 1, 2, \dots)

で定める。

(1) $a_{7}$ と $1$ の大小を調べよ。

(2) $n ≧ 2$ とする。

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1

を満たす $n$ の範囲を求めよ。

(3) $a_{n}$ が整数となる $n ≧ 1$ をすべて求めよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

$_{2 n} C_{n}$ と $_{2 n - 2} C_{n - 1}$ の比を階乗で整理し、隣接比 $a_{n} / a_{n - 1}$ を $n$ の式にする。(1)は正確な分数を計算する。(2)は隣接比が1未満となる条件を二次不等式に直す。(3)は $n ≧ 4$ での単調減少と $a_{7} < 1$ を組み合わせて大きい $n$ を除き、残る有限個を直接確認する。

解法2

隣接比を漸化式 $n^{2} a_{n} = 2 (2 n - 1) a_{n - 1}$ として読む。(2)は平方完成で符号を決める。(3)では $a_{1}, \dots, a_{7}$ を漸化式で順に作り、 $a_{7} < 1$ になった後は隣接比が1未満であることから、以後ずっと整数にならないと判定する。

解答

解法1

(1)

a_{7} = \frac{_{14} C _{7}}{7 !} = \frac{3432}{5040} = \frac{143}{210} < 1.

したがって

a_{7} < 1

である。

(2)

$n ≧ 2$ とする。階乗表示を用いると

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{_{2 n} C _{n}}{n !} \frac{( n - 1 )!}{_{2 n - 2} C _{n - 1}} = \frac{( 2 n ) ( 2 n - 1 )}{n ^{2}} \cdot \frac{1}{n} = \frac{2 ( 2 n - 1 )}{n ^{2}} .

したがって

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1 ⟺ n^{2} - 4 n + 2 > 0.

二次方程式 $n^{2} - 4 n + 2 = 0$ の解は $2 \pm 2$ である。 $n ≧ 2$ は整数だから、求める範囲は

n ≧ 4

である。

(3)

(2)より

a_{4} > a_{5} > a_{6} > a_{7} > a_{8} > \dots > 0.

しかも (1) で $a_{7} < 1$ と分かったので、 $n ≧ 7$ では $0 < a_{n} < 1$ となり整数ではない。残る $1 ≦ n ≦ 6$ を調べると

n a_{n} 1223 3 \frac{10}{3} 4 \frac{35}{12} 5 \frac{21}{10} 6 \frac{77}{60}

である。よって $a_{n}$ が整数となるのは

n = 1, 2

だけである。

解法2

(1)

組合せを直接約分すれば

a_{7} = \frac{14 !}{( 7 ! ) ^{3}} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 13}{2 ^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{143}{210} < 1.

(2)

定義から得られる漸化式

n^{2} a_{n} = 2 (2 n - 1) a_{n - 1}

より

a_{n} < a_{n - 1} ⟺ (n - 2)^{2} > 2.

$n ≧ 2$ は整数なので、これは $n ≧ 4$ と同値である。

(3)

漸化式を $n = 2, 3, \dots$ の順に使うと

2, 3, \frac{10}{3}, \frac{35}{12}, \frac{21}{10}, \frac{77}{60}, \frac{143}{210}

を得る。最初の2項だけが整数である。また $n ≧ 4$ では

0 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1

だから、 $a_{7} < 1$ となった後の項はすべて $0 < a_{n} < 1$ である。したがって答えは

n = 1, 2

である。

東京大学 2018年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

東京大学 2018年度
文系数学第2問