東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$a_7=\frac{{}_{14}{\mathrm{C}}_7}{7!}=\frac{3432}{5040}=\frac{143}{210}<1.$$したがって$$a_7<1$$である。

(2)

$n\geqq 2$ とする。階乗表示を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}& {\displaystyle =\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{n!}\frac{(n-1)!}{{}_{2n-2}{\mathrm{C}}_{n-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2n)(2n-1)}{n^2}\cdot \frac{1}{n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2(2n-1)}{n^2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\frac{a_n}{a_{n-1}}<1⟺n^2-4n+2>0.$$二次方程式 $n^2-4n+2=0$ の解は $2\pm \sqrt{2}$ である。$n\geqq 2$ は整数だから、求める範囲は$$n\geqq 4$$である。

(3)

(2) より$$a_4>a_5>a_6>a_7>a_8>\cdots >0.$$しかも (1) で $a_7<1$ と分かったので、$n\geqq 7$ では $0<a_n<1$ となり整数ではない。残る $1\leqq n\leqq 6$ を調べると$$\begin{array}{ccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ a_n& 2& 3& {\displaystyle \frac{10}{3}}& {\displaystyle \frac{35}{12}}& {\displaystyle \frac{21}{10}}& {\displaystyle \frac{77}{60}}\end{array}$$である。よって $a_n$ が整数となるのは$$n=1,2$$だけである。

隣接比を漸化式 $n^2{a}_n=2(2n-1)a_{n-1}$ として読む。(2)は平方完成で符号を決める。(3)では $a_1,\dots ,a_7$ を漸化式で順に作り、$a_7<1$ になった後は隣接比が1未満であることから、以後ずっと整数にならないと判定する。

(1)

組合せを直接約分すれば$$a_7=\frac{14!}{(7!{)}^3}=\frac{2\cdot 11\cdot 13}{2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}=\frac{143}{210}<1.$$(2)

定義から得られる漸化式$$n^2{a}_n=2(2n-1)a_{n-1}$$より$$a_n<a_{n-1}⟺(n-2{)}^2>2.$$$n\geqq 2$ は整数なので、これは $n\geqq 4$ と同値である。

(3)

漸化式を $n=2,3,\dots$ の順に使うと$$2,3,\frac{10}{3},\frac{35}{12},\frac{21}{10},\frac{77}{60},\frac{143}{210}$$を得る。最初の2項だけが整数である。また $n\geqq 4$ では$$0<\frac{a_n}{a_{n-1}}<1$$だから、$a_7<1$ となった後の項はすべて $0<a_n<1$ である。したがって答えは$$n=1,2$$である。