東京大学 2018年度理系数学第2問解答・解説

問題

数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ を

a_{n} = \frac{_{2 n + 1} C _{n}}{n !} (n = 1, 2, \dots)

で定める。

(1) $n ≧ 2$ とする。

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}}

を既約分数 $q_{n} / p_{n}$ として表したときの、分母 $p_{n} ≧ 1$ と分子 $q_{n}$ を求めよ。

(2) $a_{n}$ が整数となる $n ≧ 1$ をすべて求めよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

解法1

隣接比を階乗で展開し、まず $2 (2 n + 1) / {n (n + 1)}$ を得る。既約分数が問われているので、 $2 n + 1$ が $n$ 、 $n + 1$ のどちらとも互いに素であることを示し、偶数因子2だけを約分する。(2)は隣接比が1未満となる $n ≧ 4$ 以降の単調減少と $a_{8} < 1$ を使って大きい $n$ を除き、残る項を直接確認する。

解法2

(1)で得た既約な漸化式 $a_{n} = (q_{n} / p_{n}) a_{n - 1}$ を積の形で繰り返す。すべての $q_{n} = 2 n + 1$ は奇数である一方、 $p_{3} = 6$ は因子2をもつ。この2は分子側から消せないので、 $n ≧ 3$ の $a_{n}$ は整数にならない。大小比較を使わず、2の因子だけで一括して判定する。

解答

解法1

(1)

$n ≧ 2$ とする。階乗表示を使うと

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{_{2 n + 1} C _{n}}{n !} \frac{( n - 1 )!}{_{2 n - 1} C _{n - 1}} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n ( n + 1 )} .

ここで

g cd (2 n + 1, n) = 1, g cd (2 n + 1, n + 1) = 1

である。実際、共通約数はそれぞれ

(2 n + 1) - 2 n = 1, 2 (n + 1) - (2 n + 1) = 1

も割る。したがって約分できる因子は、連続2整数の積 $n (n + 1)$ に含まれる因子2だけである。よって

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{2 n + 1}{n ( n + 1 ) /2} = \frac{q _{n}}{p _{n}},

したがって

p_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}, q_{n} = 2 n + 1.

(2)

約分前の隣接比から

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1 ⟺ n^{2} - 3 n - 2 > 0.

正の根 $(3 + 17) /2$ は3と4の間にあるため、整数 $n ≧ 2$ では $n ≧ 4$ のとき $a_{n} < a_{n - 1}$ である。

直接計算すると

n a_{n} 1325 3 \frac{35}{6} 4 \frac{21}{4} 5 \frac{77}{20} 6 \frac{143}{60} 7 \frac{143}{112} 8 \frac{2431}{4032}

である。 $a_{8} < 1$ であり、 $n ≧ 4$ では単調減少するから、 $n ≧ 8$ の項はすべて $0 < a_{n} < 1$ である。表と合わせて、整数となるのは

n = 1, 2

だけである。

解法2

(1)

隣接比は

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n ( n + 1 )} = \frac{2 n + 1}{n ( n + 1 ) /2} .

$2 n + 1$ は $n$ とも $n + 1$ とも互いに素なので、右辺は既約である。したがって

p_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}, q_{n} = 2 n + 1.

(2)

$n ≧ 2$ に対し

a_{n} = a_{1} \frac{q _{2} q _{3} \dots q _{n}}{p _{2} p _{3} \dots p _{n}} .

ここで

a_{1} = 3, q_{k} = 2 k + 1

はいずれも奇数である。一方、

p_{3} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6

は因子2をもつ。したがって $n ≧ 3$ では、上の分数の分母側にある因子2を分子側のどの因子でも約分できない。よって $a_{n}$ は整数ではない。

最後に

a_{1} = 3, a_{2} = 5

はいずれも整数であるから、答えは

n = 1, 2

である。

東京大学 2018年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東京大学 2018年度
理系数学第2問