東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

$n\geqq 2$ とする。階乗表示を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}& {\displaystyle =\frac{{}_{2n+1}{\mathrm{C}}_n}{n!}\frac{(n-1)!}{{}_{2n-1}{\mathrm{C}}_{n-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2(2n+1)}{n(n+1)}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\gcd (2n+1,n)=1,\gcd (2n+1,n+1)=1$$である。実際、共通約数はそれぞれ$$(2n+1)-2n=1,2(n+1)-(2n+1)=1$$も割る。したがって約分できる因子は、連続2整数の積 $n(n+1)$ に含まれる因子2だけである。よって$$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2n+1}{n(n+1)\mathrm{/}2}=\frac{q_n}{p_n},$$したがって$$p_n=\frac{n(n+1)}{2},q_n=2n+1.$$(2)

約分前の隣接比から$$\frac{a_n}{a_{n-1}}<1⟺n^2-3n-2>0.$$正の根 $(3+\sqrt{17})\mathrm{/}2$ は3と4の間にあるため、整数 $n\geqq 2$ では $n\geqq 4$ のとき $a_n<a_{n-1}$ である。

直接計算すると$$\begin{array}{ccccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ a_n& 3& 5& {\displaystyle \frac{35}{6}}& {\displaystyle \frac{21}{4}}& {\displaystyle \frac{77}{20}}& {\displaystyle \frac{143}{60}}& {\displaystyle \frac{143}{112}}& {\displaystyle \frac{2431}{4032}}\end{array}$$である。$a_8<1$ であり、$n\geqq 4$ では単調減少するから、$n\geqq 8$ の項はすべて $0<a_n<1$ である。表と合わせて、整数となるのは$$n=1,2$$だけである。

(1) で得た既約な漸化式 $a_n=(q_n\mathrm{/}{p}_n)a_{n-1}$ を積の形で繰り返す。すべての $q_n=2n+1$ は奇数である一方、$p_3=6$ は因子2をもつ。この2は分子側から消せないので、$n\geqq 3$ の $a_n$ は整数にならない。大小比較を使わず、2の因子だけで一括して判定する。

(1)

隣接比は$$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2(2n+1)}{n(n+1)}=\frac{2n+1}{n(n+1)\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$$2n+1$ は $n$ とも $n+1$ とも互いに素なので、右辺は既約である。したがって$$p_n=\frac{n(n+1)}{2},q_n=2n+1.$$(2)

$n\geqq 2$ に対し$$a_n=a_1\frac{q_2{q}_3\cdots q_n}{p_2{p}_3\cdots p_n}\mathrm{.}$$ここで$$a_1=3,q_k=2k+1$$はいずれも奇数である。一方、$$p_3=\frac{3\cdot 4}{2}=6$$は因子2をもつ。したがって $n\geqq 3$ では、上の分数の分母側にある因子2を分子側のどの因子でも約分できない。よって $a_n$ は整数ではない。

最後に$$a_1=3,a_2=5$$はいずれも整数であるから、答えは$$n=1,2$$である。