東京大学 2018年度文系数学第4問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ のうち $- 1 ≦ x ≦ 1$ を満たす部分を $C$ とする。座標平面上の原点 $O$ と点 $A (1, 0)$ を考える。

(1)点 $P$ が $C$ 上を動くとき、

O Q = 2 O P

を満たす点 $Q$ の軌跡を求めよ。

(2)点 $P$ が $C$ 上を動き、点 $R$ が線分 $O A$ 上を動くとき、

O S = 2 O P + O R

を満たす点 $S$ が動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

解法1

$P = (t, t^{2})$ 、 $R = (u, 0)$ とおく。(1)は $Q = (2 t, 2 t^{2})$ から $t$ を消去する。(2)では $S = (2 t + u, 2 t^{2})$ を得る。高さ $Y$ を固定すると $t = \pm Y /2$ に対応する2つの横区間が現れる。低い部分では重なり、高い部分では分離するので、重なりが消える高さ $Y = 1/8$ で場合を分けて横幅を積分する。

解法2

$t ≧ 0$ と $t ≦ 0$ から生じる2つの領域を別々に考える。それぞれは幅1、高さ2の曲線帯で面積2をもつ。2領域の重なりだけを積分で求め、包除原理により和集合の面積を出す。図形の生成を「放物線弧を右へ0から1だけ平行移動した通過領域」と見る解法である。

解答

解法1

(1)

$P = (t, t^{2}) (- 1 ≦ t ≦ 1)$ とおく。

Q = (2 t, 2 t^{2}) .

$Q = (X, Y)$ と書けば $X = 2 t$ 、 $Y = 2 t^{2}$ なので、

Y = \frac{1}{2} X^{2}, - 2 ≦ X ≦ 2.

これが求める軌跡である。

(2)

$R = (u, 0) (0 ≦ u ≦ 1)$ とおくと

S = (2 t + u, 2 t^{2}) .

$S = (X, Y)$ とし、高さ $Y$ を固定する。

s = \frac{Y}{2}

とおけば $t = \pm s$ であるから、 $X$ の動く範囲は

[- 2 s, - 2 s + 1] \cup [2 s, 2 s + 1] .

2区間が重なる条件は

2 s ≦ - 2 s + 1 ⟺ s ≦ \frac{1}{4} ⟺ 0 ≦ Y ≦ \frac{1}{8} .

したがって横幅は

⎩ ⎨ ⎧ 1 + 4 Y /2 2 (0 ≦ Y ≦ \frac{1}{8}), (\frac{1}{8} < Y ≦ 2) .

よって面積は

\int_{0}^{1/8} (1 + 4 \frac{Y}{2}) d Y + \int_{1/8}^{2} 2 d Y = (\frac{1}{8} + \frac{1}{12}) + \frac{15}{4} = \frac{95}{24} .

領域は下図の青色部分である。

解法2

(1)

$O Q = 2 O P$ は、放物線弧 $C$ を原点中心に2倍する相似変換である。したがって

Y = \frac{1}{2} X^{2}, - 2 ≦ X ≦ 2

を得る。

(2)

$t ≧ 0$ からできる領域と $t ≦ 0$ からできる領域を $E_{+}$ 、 $E_{-}$ とする。各領域は、対応する放物線弧を水平方向に長さ1だけ掃いた曲線帯である。各高さ $0 ≦ Y ≦ 2$ で横幅が1なので

∣ E_{+} ∣ = ∣ E_{-} ∣ = \int_{0}^{2} 1 d Y = 2.

両領域が重なるのは

0 ≦ Y ≦ \frac{1}{8}

であり、 $s = Y /2$ とおくと重なりの横幅は

(- 2 s + 1) - 2 s = 1 - 4 \frac{Y}{2} .

したがって

∣ E_{+} \cap E_{-} ∣ = \int_{0}^{1/8} (1 - 4 \frac{Y}{2}) d Y = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24} .

包除原理より

∣ E_{+} \cup E_{-} ∣ = 2 + 2 - \frac{1}{24} = \frac{95}{24} .

東京大学 2018年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東京大学 2018年度
文系数学第4問