東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$P=(t,t^2)(-1\leqq t\leqq 1)$$ とおく。$$Q=(2t,2t^2)\mathrm{.}$$$Q=(X,Y)$ と書けば $X=2t$、$Y=2t^2$ なので、$$Y=\frac{1}{2}{X}^2,-2\leqq X\leqq 2.$$これが求める軌跡である。

(2) $$R=(u,0)(0\leqq u\leqq 1)$$ とおくと$$S=(2t+u,2t^2)\mathrm{.}$$$S=(X,Y)$ とし、高さ $Y$ を固定する。$$s=\sqrt{\frac{Y}{2}}$$とおけば $t=\pm s$ であるから、$X$ の動く範囲は$$[-2s,-2s+1]\cup [2s,2s+1]\mathrm{.}$$2区間が重なる条件は$$2s\leqq -2s+1⟺s\leqq \frac{1}{4}⟺0\leqq Y\leqq \frac{1}{8}\mathrm{.}$$したがって横幅は$$\{\begin{array}{ll}1+4\sqrt{Y\mathrm{/}2}& (0\leqq Y\leqq {\displaystyle \frac{1}{8}}),\\ 2& ({\displaystyle \frac{1}{8}}<Y\leqq 2)\mathrm{.}\end{array}$$よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_0^{1\mathrm{/}8}(1+4\sqrt{\frac{Y}{2}})dY+{\int }_{1\mathrm{/}8}^{2}2dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})+\frac{15}{4}=\frac{95}{24}\mathrm{.}}\end{array}$$領域は下図の青色部分である。

$t\geqq 0$ と $t\leqq 0$ から生じる2つの領域を別々に考える。それぞれは幅1、高さ2の曲線帯で面積2をもつ。2領域の重なりだけを積分で求め、包除原理により和集合の面積を出す。図形の生成を「放物線弧を右へ0から1だけ平行移動した通過領域」と見る解法である。

(1) $$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$$ は、放物線弧 $C$ を原点中心に2倍する相似変換である。したがって$$Y=\frac{1}{2}{X}^2,-2\leqq X\leqq 2$$を得る。

(2)

$t\geqq 0$ からできる領域と $t\leqq 0$ からできる領域を $E_{+}$、$E_{-}$ とする。各領域は、対応する放物線弧を水平方向に長さ1だけ掃いた曲線帯である。各高さ $0\leqq Y\leqq 2$ で横幅が1なので$$\mathrm{\mid }{E}_{+}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{E}_{-}\mathrm{\mid }={\int }_0^{2}1dY=2.$$両領域が重なるのは$$0\leqq Y\leqq \frac{1}{8}$$であり、$$s=\sqrt{Y\mathrm{/}2}$$ とおくと重なりの横幅は$$(-2s+1)-2s=1-4\sqrt{\frac{Y}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{E}_{+}\cap E_{-}\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ={\int }_0^{1\mathrm{/}8}(1-4\sqrt{\frac{Y}{2}})dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{1}{24}\mathrm{.}}\end{array}$$包除原理より$$\mathrm{\mid }{E}_{+}\cup E_{-}\mathrm{\mid }=2+2-\frac{1}{24}=\frac{95}{24}\mathrm{.}$$