東京大学 2018年度文系数学第3問解答・解説

問題

$a > 0$ とし、

f (x) = x^{3} - 3 a^{2} x

とおく。

(1) $x ≧ 1$ で $f (x)$ が単調に増加するための、 $a$ についての条件を求めよ。

(2)次の2条件を満たす点 $(a, b)$ の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

条件 1 ：方程式 f (x) = b は相異なる 3 実数解をもつ。 条件 2 ：その解を α < β < γ とすると β > 1 である。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1

導関数 $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a^{2})$ から増減を読む。(1)は $x ≧ 1$ 全体で導関数が非負となる条件である。(2)では極大値 $f (- a) = 2 a^{3}$ 、極小値 $f (a) = - 2 a^{3}$ から3実数解の条件を出す。中央の解 $β$ は減少区間 $(- a, a)$ 上にあるので、 $β > 1$ を $a > 1$ および $b < f (1)$ に翻訳し、境界の上下関係を確認する。

解法2

中央の解そのものを $β = t$ とおく。中央の解は三次関数の減少区間にあるため $1 < t < a$ が必要十分となる。固定した $a > 1$ に対して $b = f (t)$ の値域を求めれば、境界条件を直接得られる。(1)は導関数の最小値を端点 $x = 1$ で判定する。

解答

解法1

(1)

f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a^{2}) .

$x ≧ 1$ における $x^{2}$ の最小値は1なので、この区間で常に $f^{'} (x) ≧ 0$ となる条件は

1 - a^{2} ≧ 0.

$a > 0$ と合わせて

0 < a ≦ 1

を得る。

(2)

導関数の符号から、 $f$ の増減は

x f^{'} (x) f (x) - \infty + ↗ - a 0 2 a^{3} - ↘ a 0 - 2 a^{3} + \infty + ↗

となる。したがって $f (x) = b$ が相異なる3実数解をもつ条件は

- 2 a^{3} < b < 2 a^{3} .

中央の解 $β$ は減少区間 $(- a, a)$ にある。 $β > 1$ となるにはまず $a > 1$ が必要である。このとき $1 \in (- a, a)$ で、 $f$ はこの区間で減少するから

β > 1 ⟺ f (β) < f (1) ⟺ b < 1 - 3 a^{2} .

さらに $a > 1$ では

(1 - 3 a^{2}) - (- 2 a^{3}) = (a - 1)^{2} (2 a + 1) > 0

かつ $1 - 3 a^{2} < 2 a^{3}$ である。よって求める範囲は

a > 1, - 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2}

である。

解法2

(1)

$x ≧ 1$ では $x^{2} ≧ 1$ であるから

f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a^{2}) ≧ 3 (1 - a^{2}) .

したがって $0 < a ≦ 1$ なら $f^{'} (x) ≧ 0$ である。逆に $a > 1$ なら $x = 1$ の近くで $f^{'} (x) < 0$ となるので単調増加ではない。よって

0 < a ≦ 1.

(2)

中央の解を $β = t$ とおく。中央の解は極大点と極小点の間にあるため

- a < t < a .

条件 $t > 1$ と合わせると、このような $t$ が存在するためには $a > 1$ であり、そのとき

1 < t < a .

固定した $a > 1$ に対し、 $f$ は区間 $(1, a)$ で狭義単調減少する。したがって $b = f (t)$ の値域は

f (a) < b < f (1),

すなわち

- 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2} .

逆にこの範囲の $b$ なら、減少区間 $(1, a)$ にただ1つの解 $t$ があり、その上下に残り2解も存在する。よって必要十分条件は

a > 1, - 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2}

である。

東京大学 2018年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東京大学 2018年度
文系数学第3問