東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x^2-a^2)\mathrm{.}$$$x\geqq 1$ における $x^2$ の最小値は1なので、この区間で常に $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ となる条件は$$1-a^2\geqq 0.$$$a>0$ と合わせて$$0<a\leqq 1$$を得る。

(2)

導関数の符号から、$f$ の増減は$$\begin{array}{cccccc}x& -\mathrm{\infty }& -a& & a& +\mathrm{\infty }\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& 0& -& 0& +\\ f(x)& \nearrow & 2a^3& \searrow & -2a^3& \nearrow \end{array}$$となる。したがって $f(x)=b$ が相異なる3実数解をもつ条件は$$-2a^3<b<2a^3\mathrm{.}$$中央の解 $\beta$ は減少区間 $(-a,a)$ にある。$\beta >1$ となるにはまず $a>1$ が必要である。このとき $1\in (-a,a)$ で、$f$ はこの区間で減少するから$$\beta >1⟺f(\beta )<f(1)⟺b<1-3a^2\mathrm{.}$$さらに $a>1$ では$$(1-3a^2)-(-2a^3)=(a-1{)}^2(2a+1)>0$$かつ $1-3a^2<2a^3$ である。よって求める範囲は$$a>1,-2a^3<b<1-3a^2$$である。

中央の解そのものを $\beta =t$ とおく。中央の解は三次関数の減少区間にあるため $1<t<a$ が必要十分となる。固定した $a>1$ に対して $b=f(t)$ の値域を求めれば、境界条件を直接得られる。(1)は導関数の最小値を端点 $x=1$ で判定する。

(1)

$x\geqq 1$ では $x^2\geqq 1$ であるから$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x^2-a^2)\geqq 3(1-a^2)\mathrm{.}$$したがって $0<a\leqq 1$ なら $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。逆に $a>1$ なら $x=1$ の近くで $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ となるので単調増加ではない。よって$$0<a\leqq 1.$$(2)

中央の解を $\beta =t$ とおく。中央の解は極大点と極小点の間にあるため$$-a<t<a\mathrm{.}$$条件 $t>1$ と合わせると、このような $t$ が存在するためには $a>1$ であり、そのとき$$1<t<a\mathrm{.}$$固定した $a>1$ に対し、$f$ は区間 $(1,a)$ で狭義単調減少する。したがって $b=f(t)$ の値域は$$f(a)<b<f(1),$$すなわち$$-2a^3<b<1-3a^2\mathrm{.}$$逆にこの範囲の $b$ なら、減少区間 $(1,a)$ にただ1つの解 $t$ があり、その上下に残り2解も存在する。よって必要十分条件は$$a>1,-2a^3<b<1-3a^2$$である。