問題
座標平面の原点をとし，，，，を辺の長さが1の正方形の頂点とする。3点，，はそれぞれ辺，，上にあり，3点，，および3点，，はどちらも面積がの三角形の3頂点であるとする。
(1) とをで表し，，，それぞれのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) の最大値，最小値を求めよ。
方針
解法1
2つの面積条件を座標の行列式に直し、まず から を得る。点は指定された辺上にあるので であり、面積式の符号もこの範囲で判断できる。次に の面積条件へ を代入して を の式にする。範囲は と から を先に決め、そこから の動く範囲を出す。最後に を1変数関数にし、端点と停留点を比較して最大値・最小値を決める。
解法2
座標の行列式を使わず、正方形を三角形と台形に分割して面積条件を作る。 と を で表した後、比 を3次関数に直して増減を調べる。
解答
解法1
(1)
点 はそれぞれ辺上にあるので である。ただし の面積が なので、実際には である。
まず について だから である。
次に を考える。 であるから、面積の2倍は
である。ここで であり、求める点が存在する範囲では となるので、面積条件は と書ける。したがって より である。 を代入すると を得る。
つぎに範囲を調べる。 は すなわち であり、また だから である。この範囲で は単調減少するので である。また について であり、 では である。よって から である。
(2)
、 であるから
である。そこで とおく。微分すると である。したがって は で増加し、 で減少する。
端点と停留点での値は
である。よって、最大値は であり、最小値は である。
解法2
(1)
の面積から
を得る。正方形から2つの面積が の三角形を除くと、台形 と三角形 の面積の和は である。したがって
より
よって
辺上の条件 と から
この範囲で と はともに減少するので
(2)
微分すると
であるから、区間 では まで増加し、その後減少する。
したがって最大値は 、最小値は である。
