Evolton
方針
正方形を座標平面に置き、、、 とする。 の面積条件から を得て、 を で表す。次に の面積を行列式で表し、 を導く。点が辺上にある条件から を確定し、求める比 を の関数として最大最小を調べる。端点値は ではなく で比較する。
解答
、、、 と座標を入れる。また とおく。点は辺上にあるので である。 の面積が であるから であり、 である。よって である。
次に の面積を求める。 だから、面積の2倍はである。ここでは面積条件と辺上の条件を満たす範囲で となるので である。 を代入すると したがって である。 より を得る。 より 、また なので である。この範囲では上で得た も を満たす。
求める比は、、 だからである。そこで とおくと である。 において、 は まで増加し、その後減少する。
よって端点と停留点を比較するとである。したがって、最大値は であり、最小値は である。
別解
解法2
方針
、、 と置き、正方形内の台形と三角形の面積を足して3変数の関係を作る。 で を消去し、比 を の3次関数に直す。
解答
、、 とおく。 の面積から と より正方形から2つの面積 の三角形を除くと、台形 と三角形 の面積の和は である。したがって整理するとここへ を代入してを得る。よって微分するとである。端点と停留点を比較するととなる。よって最大値は 、最小値は である。
総評
難度4、目安時間12分。文系第1問と同型の座標・面積問題で、面積条件から を で表すところまでは標準的である。注意点は、最後に比較するのが ではなく であること。 では だが なので比は になり、最小値ではない。端点2つと停留点1つを明示して比較すれば確実に得点できる。