東京大学 2020年度理系数学第5問解答・解説

問題

座標空間において， $x y$ 平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし，点 $(0, 0, 2)$ を頂点とする円錐（内部を含む）をSとする。また，点 $A (1, 0, 2)$ を考える。

(1) 点PがSの底面を動くとき，線分APが通過する部分をTとする。平面 $z = 1$ によるSの切り口および，平面 $z = 1$ によるTの切り口を同一平面上に図示せよ。

(2) 点PがSを動くとき，線分APが通過する部分の体積を求めよ。

出典：東京大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1（高さごとのカプセル形断面を積分する方法）

(1)は高さ1で相似比と中点を使い、2つの半径 $1/2$ の円板を描く。(2)は一般の高さ $z$ で切り、半径 $1 - z /2$ の円板の中心が長さ $z /2$ の区間を動くことを示す。断面は円板と長方形からなるカプセル形になる。

解法2（線分の内分表示と体積分解を使う方法）

線分上の点を $Q = (1 - λ) A + λ P$ と表示する。高さ $z$ を固定して $P$ の高さを消去すると、断面円板の半径が $(2 - z) /2$ で一定、中心だけが区間を動くことが直接分かる。体積を元の円錐部分と追加の長方形断面部分に分ける。

解答

解法1（高さごとのカプセル形断面を積分する方法）

(1)

円錐 $S$ の高さ $z = 1$ の切り口は、相似比 $1/2$ により原点中心、半径 $1/2$ の円板である。

底面上の点を

P = (u, v, 0), u^{2} + v^{2} ≦ 1

とする。線分 $A P$ と $z = 1$ の交点は中点

(\frac{1 + u}{2}, \frac{v}{2}, 1)

である。したがって $T$ の切り口は

(x - \frac{1}{2})^{2} + y^{2} ≦ \frac{1}{4} .

(2)

高さ $z$ における $S$ の切り口の半径を

R = 1 - \frac{z}{2}

とする。線分のもう一方の端 $P$ の高さを $w$ とすると $0 ≦ w ≦ z$ であり、高さ $z$ までの縮小率は

\frac{2 - z}{2 - w} .

高さ $w$ での円錐断面の半径は $1 - w /2$ だから、線分群が高さ $z$ に作る円板の半径は

\frac{2 - z}{2 - w} (1 - \frac{w}{2}) = 1 - \frac{z}{2} = R .

一方、その中心は $x$ 軸上の

0 ≦ x ≦ \frac{z}{2}

を動く。したがって断面は、半径 $R$ の円板を長さ $z /2$ だけ平行移動したカプセル形である。

断面積は

π R^{2} + 2 R \cdot \frac{z}{2} = π (1 - \frac{z}{2})^{2} + z (1 - \frac{z}{2}) .

よって体積は

V = \int_{0}^{2} {π (1 - \frac{z}{2})^{2} + z (1 - \frac{z}{2})} d z = \frac{2 π}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2 ( π + 1 )}{3} .

解法2（線分の内分表示と体積分解を使う方法）

(1)

$z = 1$ では、 $S$ の断面は

x^{2} + y^{2} ≦ \frac{1}{4} .

また底面の $P = (u, v, 0)$ と $A$ の中点を集めると

(x - \frac{1}{2})^{2} + y^{2} ≦ \frac{1}{4} .

よって、原点中心と $(1/2, 0)$ 中心の半径 $1/2$ の円板を同一平面に描けばよい。

(2)

$P = (p_{x}, p_{y}, w) \in S$ とし、線分上の点を

Q = (1 - λ) A + λ P (0 ≦ λ ≦ 1)

とする。 $Q$ の高さが $z$ なら

z = 2 (1 - λ) + λ w, λ = \frac{2 - z}{2 - w} .

高さ $w$ の $S$ の断面は半径 $(2 - w) /2$ の円板だから、 $Q$ の水平成分が作る円板の半径は

λ \frac{2 - w}{2} = \frac{2 - z}{2} .

これは $w$ によらない。中心の $x$ 座標は

1 - λ = \frac{z - w}{2 - w}

であり、 $0 ≦ w ≦ z$ に対して $0$ から $z /2$ まで動く。

よって断面は、円錐 $S$ 自身の円板に、幅 $2 R = 2 - z$ 、長さ $z /2$ の長方形部分を加えたものとみなせる。したがって体積も

円錐の体積 + 追加部分

に分けられ、

V = \frac{1}{3} π \cdot 1^{2} \cdot 2 + \int_{0}^{2} (2 - z) \frac{z}{2} d z = \frac{2 π}{3} + \int_{0}^{2} (z - \frac{z ^{2}}{2}) d z = \frac{2 π}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2 ( π + 1 )}{3} .

東京大学 2020年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（高さごとのカプセル形断面を積分する方法）

解法2（線分の内分表示と体積分解を使う方法）

解答

解法1（高さごとのカプセル形断面を積分する方法）

(1)

(2)

解法2（線分の内分表示と体積分解を使う方法）

(1)

(2)

東京大学 2020年度
理系数学第5問