東京大学 2019年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の定積分を求めよ。

\int_{0}^{1} (x^{2} + \frac{x}{1 + x ^{2}}) (1 + \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}}) d x

出典：東京大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

被積分関数は一見複雑だが、積のまま工夫するよりも展開して基本積分に分けるのが確実である。現れる積分は $x^{2}$ 、 $x (1 + x^{2})^{- 1/2}$ 、 $x^{3} (1 + x^{2})^{- 3/2}$ 、 $x^{2} (1 + x^{2})^{- 2}$ の4つである。前2つは基本形、3つ目は $u = 1 + x^{2}$ で $x^{3} = x^{2} \cdot x$ と見て処理する。最後は $x = tan t$ とおくと $sin^{2} t$ の積分になる。各項の定数を最後にまとめるとき、負の定数項が多いので符号を丁寧に確認する。

解法2

第2因子が $x - (1 + x^{2})^{- 1/2}$ の導関数であることを利用して部分積分する。残る積分を基本形と $x = tan t$ で処理する。

解答

解法1

与えられた定積分を $I$ とおく。まず被積分関数を展開すると

I = \int_{0}^{1} (x^{2} + \frac{x}{1 + x ^{2}}) (1 + \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) 1 + x ^{2}}) d x = \int_{0}^{1} {x^{2} + \frac{x}{1 + x ^{2}} + \frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} + \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}} d x

である。

各項を順に計算する。まず

\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}

である。また

\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = [1 + x^{2}]_{0}^{1} = 2 - 1

である。

次に

\int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} d x

を計算する。 $u = 1 + x^{2}$ とおくと $d u = 2 x d x$ 、 $x^{2} = u - 1$ なので

\int_{0}^{1} \frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{u - 1}{u ^{3/2}} d u = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (u^{- 1/2} - u^{- 3/2}) d u = [u + \frac{1}{u}]_{1}^{2} = \frac{3 2}{2} - 2

である。

最後に

\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

を計算する。 $x = tan t$ とおくと、 $x = 0$ で $t = 0$ 、 $x = 1$ で $t = \frac{π}{4}$ 、また $d x = \frac{1}{c o s ^{2} t} d t$ である。したがって

\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x = \int_{0}^{π /4} \frac{tan ^{2} t}{( 1 + tan ^{2} t ) ^{2}} \cdot \frac{1}{cos ^{2} t} d t = \int_{0}^{π /4} sin^{2} t d t = \int_{0}^{π /4} \frac{1 - cos 2 t}{2} d t = [\frac{t}{2} - \frac{sin 2 t}{4}]_{0}^{π /4} = \frac{π}{8} - \frac{1}{4}

である。

以上を足し合わせて

I = \frac{1}{3} + (2 - 1) + (\frac{3 2}{2} - 2) + (\frac{π}{8} - \frac{1}{4}) = \frac{5 2}{2} + \frac{π}{8} - \frac{35}{12}

である。

解法2

F (x) = x^{2} + \frac{x}{1 + x ^{2}}, G (x) = x - \frac{1}{1 + x ^{2}}

とおく。このとき

G^{'} (x) = 1 + \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}}

だから、求める積分を $I$ とすると部分積分により

I = [F (x) G (x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} F^{'} (x) G (x) d x .

ここで

[F (x) G (x)]_{0}^{1} = \frac{1}{2}

であり、

F^{'} (x) G (x) = 2 x^{2} - \frac{2 x}{1 + x ^{2}} + \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} - \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} .

各項について

\int_{0}^{1} 2 x^{2} d x = \frac{2}{3},

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + x ^{2}} d x = 2 (2 - 1),

\int_{0}^{1} \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} d x = 1 - \frac{1}{2} .

また $x = tan t$ とおくと

\int_{0}^{1} \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = \int_{0}^{π /4} cos^{2} t d t = \frac{π}{8} + \frac{1}{4} .

したがって

I = \frac{1}{2} - {\frac{2}{3} - 2 (2 - 1) + 1 - \frac{1}{2} - (\frac{π}{8} + \frac{1}{4})} = \frac{5 2}{2} + \frac{π}{8} - \frac{35}{12} .

東京大学 2019年度理系数学 第1問

問題

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解法1

解法2

解答

解法1

解法2

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