東京大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
線分ABの中点、線分ADの中点はそれぞれ $$M=(1,1,0),N=(1,-1,0)$$ である。また $$\overrightarrow{AE}=(-2,0,-2)$$ である。平面 $\alpha$ は $M,N$ を通るので $y$ 方向を含み、さらに $AE$ に平行である。したがって $x-z$ は平面上で一定であり、$M$ を代入して $\alpha :x-z=1$ を得る。

平面 $y=0$ で八面体を切ると、$xz$ 平面上で $C(-2,0),E(0,-2),A(2,0),P(p,2)$ を頂点とする四角形が得られる。また $\alpha$ と $y=0$ の交線は $z=x-1$ である。したがって、同じ $xz$ 平面上にこの四角形と直線 $z=x-1$ を描けばよい。

(2) $\alpha$ のどちら側に各頂点があるかを見るため $\varphi =x-z-1$ とおく。各頂点での値は$$\varphi (A)=1,\varphi (B)=-1,\varphi (C)=-3,\varphi (D)=-1,\varphi (E)=1,\varphi (P)=p-3$$である。 $p>3$ のとき、正の側にある頂点は $A,E,P$、負の側にある頂点は $B,C,D$ である。八面体の辺のうち、両端が異なる側にあるものは $AB,AD,EB,EC,ED,PB,PC,PD$ の8本である。平面はこれら8本の辺と交わるので、切り口は八角形となる。 $p=3$ のときは $P$ が平面 $\alpha$ 上にあり、切り口の頂点数は八角形の形にならない。$p<3$ のときは正の側が $A,E$ だけになり、平面と交わる辺は6本に減る。したがって、問題の条件 $2<p<4$ と合わせて、求める範囲は $3<p<4$ である。

(3)
以下 $3<p<4$ とする。$z\geqq 0$ の部分は上側の角錐 $PABCD$ に含まれる。高さ $z$ で切ると、底面 $ABCD$ のひし形 $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 2$ が、点 $P(p,0,2)$ に向かって相似に縮む。したがって断面は $$\mid x-\frac{p}{2}z\mid +\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 2-z(0\leqq z\leqq 2)$$ で表される。

平面 $\alpha$ 上では $x=z+1$ である。さらに $y\geqq 0$ を考えるので、上の不等式は $\mid 1-\frac{p-2}{2}z\mid +y\leqq 2-z$ となる。すなわち、$(y,z)$ 平面では $$0\leqq y\leqq 2-z-\mid 1-\frac{p-2}{2}z\mid$$ である。

絶対値の中身が0になるのは $$z=\frac{2}{p-2}$$ である。また上端が0になる右側の端は $$3-\frac{p}{2}z=0$$ より $z=\frac{6}{p}$ である。$3<p<4$ では $$0<\frac{2}{p-2}<\frac{6}{p}<2$$ が成り立つ。

したがって領域は次の2つに分けられる。 $$0\leqq z\leqq \frac{2}{p-2},0\leqq y\leqq 1-\frac{4-p}{2}z$$ および $$\frac{2}{p-2}\leqq z\leqq \frac{6}{p},0\leqq y\leqq 3-\frac{p}{2}z$$ である。

よって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_0^{\frac{2}{p-2}}(1-\frac{4-p}{2}z)dz+{\int }_{\frac{2}{p-2}}^{\frac{6}{p}}(3-\frac{p}{2}z)dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[z-\frac{4-p}{4}{z}^2]}_0^{\frac{2}{p-2}}+{[3z-\frac{p}{4}{z}^2]}_{\frac{2}{p-2}}^{\frac{6}{p}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{7p-18}{p(p-2)}}\end{array}$$である。

平面 $\alpha$ を $x-z=1$ と求め、頂点での符号から切断辺を数える。最後は $(y,z)$ 平面上の領域を四角形として捉え、積分を使わず対角線公式で面積を出す。

(1)
$M=(1,1,0)$、$N=(1,-1,0)$ であり、$AE$ の方向は $(-2,0,-2)$ である。したがって$$\alpha :x-z=1.$$平面 $y=0$ 上では、八面体の切り口は四角形 $CEAP$、$\alpha$ の切り口は直線 $z=x-1$ となる。

(2)
$\varphi =x-z-1$ とおくと$$\begin{array}{crrrrrr}& A& B& C& D& E& P\\ \varphi & 1& -1& -3& -1& 1& p-3\end{array}$$である。$p>3$ のときだけ異符号の頂点を結ぶ辺が8本となるため、条件は$$3<p<4.$$(3)
高さ $z$ における上側角錐の断面は$$\mid x-\frac{p}{2}z\mid +\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 2-z\mathrm{.}$$$x=z+1$、$y\geqq 0$ を代入すると、$(z,y)$ 平面での領域は頂点$$(0,0),(0,1),(\frac{2}{p-2},\frac{2(p-3)}{p-2}),(\frac{6}{p},0)$$をもつ四角形になる。座標の面積公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{\frac{2}{p-2}+\frac{2(p-3)}{p-2}\cdot \frac{6}{p}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{7p-18}{p(p-2)}\mathrm{.}}\end{array}$$