東京大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

平面上の点 $P, Q, R$ が同一直線上にないとき，それらを3頂点とする三角形の面積を $△ P QR$ で表す。また， $P, Q, R$ が同一直線上にあるときは， $△ P QR = 0$ とする。
$A, B, C$ を平面上の3点とし， $△ A B C = 1$ とする。この平面上の点 $X$ が

2 ≦ △ A B X + △ B C X + △ C A X ≦ 3

を満たしながら動くとき， $X$ の動きうる範囲の面積を求めよ。

出典：東京大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

解法1（座標を置いて六角形の差を求める方法）

面積を1に保つ座標配置 $A = (0, 0), B = (2, 0), C = (0, 1)$ を採用する。 $u = x /2, v = y$ とおくと3面積の和は $∣ u ∣ + ∣ v ∣ + ∣1 - u - v ∣$ になる。この値が $s$ 以下の六角形の面積を求め、 $s = 3$ と $s = 2$ の差を取る。

解法2（面積座標の負の部分を数える方法）

点 $X$ の符号付き面積座標を $α, β, γ$ とする。和が1で、問題の3面積は絶対値 $∣ α ∣, ∣ β ∣, ∣ γ ∣$ になる。負の座標の絶対値の総和を $q = (s - 1) /2$ 以下にする領域を、負の座標が0個・1個・2個の場合に分けて面積計算する。

解答

解法1（座標を置いて六角形の差を求める方法）

面積比を保つ座標変換により

A = (0, 0), B = (2, 0), C = (0, 1)

としてよい。 $X = (x, y)$ に対し

u = \frac{x}{2}, v = y

とおく。行列式で各面積を求めると

△ A B X = ∣ v ∣, △ B C X = ∣1 - u - v ∣, △ C A X = ∣ u ∣.

よって条件は

2 ≦ ∣ u ∣ + ∣ v ∣ + ∣1 - u - v ∣ ≦ 3.

$s ≧ 1$ とし、

∣ u ∣ + ∣ v ∣ + ∣1 - u - v ∣ ≦ s

の表す領域を $K_{s}$ とする。符号が変わる3直線

u = 0, v = 0, u + v = 1

で分けて調べると、 $K_{s}$ は頂点

(- \frac{s - 1}{2}, 0), (0, - \frac{s - 1}{2}), (\frac{s + 1}{2}, - \frac{s - 1}{2}),

(\frac{s + 1}{2}, 0), (0, \frac{s + 1}{2}), (- \frac{s - 1}{2}, \frac{s + 1}{2})

をもつ六角形である。

$h = (s - 1) /2, H = (s + 1) /2$ とおく。この六角形は一辺 $s$ の正方形から、脚の長さが $H$ と $h$ の直角二等辺三角形を1個ずつ除いた形なので、 $(u, v)$ 平面での面積は

s^{2} - \frac{H ^{2} + h ^{2}}{2} = \frac{3 s ^{2} - 1}{4} .

$x = 2 u, y = v$ だから、もとの平面の面積は2倍になる。したがって求める面積は

2 {\frac{3 \cdot 3 ^{2} - 1}{4} - \frac{3 \cdot 2 ^{2} - 1}{4}} = \frac{15}{2} .

解法2（面積座標の負の部分を数える方法）

三角形 $A B C$ に関する $X$ の符号付き面積座標を

α, β, γ

とする。向きをそろえて定義すれば

α + β + γ = 1,

また $△ A B C = 1$ だから

△ B C X = ∣ α ∣, △ C A X = ∣ β ∣, △ A B X = ∣ γ ∣.

$γ = 1 - α - β$ として $(α, β)$ 平面で考える。

$s ≧ 1$ に対して

∣ α ∣ + ∣ β ∣ + ∣ γ ∣ ≦ s

とする。負の座標の絶対値の総和を $N$ とすると、3座標の和が1なので

∣ α ∣ + ∣ β ∣ + ∣ γ ∣ = 1 + 2 N .

したがって

N ≦ q, q = \frac{s - 1}{2} .

負の座標がない部分は、 $α, β, γ ≧ 0$ の三角形で、 $(α, β)$ 平面での面積は $1/2$ である。

$α < 0$ だけが負の場合、 $α = - u$ とおけば

0 ≦ u ≦ q, 0 ≦ β ≦ 1 + u .

この部分の面積は

\int_{0}^{q} (1 + u) d u = q + \frac{q ^{2}}{2} .

負になる座標の選び方が3通りある。

2座標が負の場合、たとえば $α = - u, β = - v$ とすると

u ≧ 0, v ≧ 0, u + v ≦ q .

面積は $q^{2} /2$ で、負になる2座標の選び方が3通りある。

よって $(α, β)$ 平面での全体の面積は

\frac{1}{2} + 3 (q + \frac{q ^{2}}{2}) + 3 \frac{q ^{2}}{2} = \frac{3 s ^{2} - 1}{4} .

面積座標の基準三角形は $(α, β)$ 平面で面積 $1/2$ 、もとの平面で面積1だから、面積倍率は2である。したがって

2 (\frac{3 \cdot 3 ^{2} - 1}{4} - \frac{3 \cdot 2 ^{2} - 1}{4}) = \frac{15}{2} .

東京大学 2020年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1（座標を置いて六角形の差を求める方法）

解法2（面積座標の負の部分を数える方法）

解答

解法1（座標を置いて六角形の差を求める方法）

解法2（面積座標の負の部分を数える方法）

東京大学 2020年度
理系数学第2問