東京大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

面積比を保つ座標変換により$$A=(0,0),B=(2,0),C=(0,1)$$としてよい。$X=(x,y)$ に対し$$u=\frac{x}{2},v=y$$とおく。底辺と高さから$$\mathrm{△}ABX=\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid },\mathrm{△}CAX=\frac{1}{2}\cdot 1\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$$である。また、直線 $BC$ の方程式は$$x+2y=2$$であり、$BC=\sqrt{5}$ である。点 $X$ から直線 $BC$ までの距離を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{△}BCX}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{5}\cdot \frac{\mathrm{\mid }x+2y-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }1-u-v\mathrm{\mid }\mathrm{.}}\end{array}$$よって条件は$$2\leqq \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }1-u-v\mathrm{\mid }\leqq 3.$$$s\geqq 1$ とし、$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }1-u-v\mathrm{\mid }\leqq s$$の表す領域を $K_s$ とする。符号が変わる3直線$$u=0,v=0,u+v=1$$で分けて調べると、$K_s$ は頂点$$(-\frac{s-1}{2},0),(0,-\frac{s-1}{2}),(\frac{s+1}{2},-\frac{s-1}{2}),$$$$(\frac{s+1}{2},0),(0,\frac{s+1}{2}),(-\frac{s-1}{2},\frac{s+1}{2})$$をもつ六角形である。

$h=(s-1)\mathrm{/}2,H=(s+1)\mathrm{/}2$ とおく。この六角形は一辺 $s$ の正方形から、脚の長さが $H$ と $h$ の直角二等辺三角形を1個ずつ除いた形なので、$(u,v)$ 平面での面積は$$s^2-\frac{H^2+h^2}{2}=\frac{3s^2-1}{4}\mathrm{.}$$$x=2u,y=v$ だから、もとの平面の面積は2倍になる。したがって求める面積は$$2\{\frac{3\cdot 3^2-1}{4}-\frac{3\cdot 2^2-1}{4}\}=\frac{15}{2}\mathrm{.}$$

点 $X$ の符号付き面積座標を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とする。和が1で、問題の3面積は絶対値 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }$ になる。負の座標の絶対値の総和を $q=(s-1)\mathrm{/}2$ 以下にする領域を、負の座標が0個・1個・2個の場合に分けて面積計算する。

三角形 $ABC$ に関する $X$ の符号付き面積座標を$$\alpha ,\beta ,\gamma$$とする。向きをそろえて定義すれば$$\alpha +\beta +\gamma =1,$$また $\mathrm{△}ABC=1$ だから$$\mathrm{△}BCX=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid },\mathrm{△}CAX=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid },\mathrm{△}ABX=\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$\gamma =1-\alpha -\beta$ として $(\alpha ,\beta )$ 平面で考える。

$s\geqq 1$ に対して$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }\leqq s$$とする。負の座標の絶対値の総和を $N$ とすると、3座標の和が1なので$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }=1+2N\mathrm{.}$$したがって$$N\leqq q,q=\frac{s-1}{2}\mathrm{.}$$負の座標がない部分は、$\alpha ,\beta ,\gamma \geqq 0$ の三角形で、$(\alpha ,\beta )$ 平面での面積は $1\mathrm{/}2$ である。

$\alpha <0$ だけが負の場合、$\alpha =-u$ とおけば$$0\leqq u\leqq q,0\leqq \beta \leqq 1+u\mathrm{.}$$この部分の面積は$${\int }_0^q(1+u)du=q+\frac{q^2}{2}\mathrm{.}$$負になる座標の選び方が3通りある。

2座標が負の場合、たとえば $\alpha =-u,\beta =-v$ とすると$$u\geqq 0,v\geqq 0,u+v\leqq q\mathrm{.}$$面積は $q^2\mathrm{/}2$ で、負になる2座標の選び方が3通りある。

よって $(\alpha ,\beta )$ 平面での全体の面積は$$\frac{1}{2}+3(q+\frac{q^2}{2})+3\frac{q^2}{2}=\frac{3s^2-1}{4}\mathrm{.}$$面積座標の基準三角形は $(\alpha ,\beta )$ 平面で面積 $1\mathrm{/}2$、もとの平面で面積1だから、面積倍率は2である。したがって$$2(\frac{3\cdot 3^2-1}{4}-\frac{3\cdot 2^2-1}{4})=\frac{15}{2}\mathrm{.}$$