東京大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) 2つの放物線の共有点の $x$ 座標は$$h(x)=2x^2+ax+b=0$$の解である。$h$ は下に凸であるから，$(-1,0)$ と $(0,1)$ に1解ずつもつことは$$h(-1)>0,h(0)<0,h(1)>0$$と同値である。よって$$b<0,b>a-2,b>-a-2$$を得る。これは3点 $(-2,0),(2,0),(0,-2)$ を頂点とする三角形の内部であり，境界は含まない。

(2) 2解を $-1<s<0<t<1$ とおくと$$2x^2+ax+b=2(x-s)(x-t)$$より$$a=-2(s+t),b=2st$$である。固定した $x$ に対し，放物線上の $y$ 座標は$$Y(s,t)=x^2-2(s+t)x+2st$$となる。これは $s,t$ の双一次式なので，長方形 $-1<s<0$，$0<t<1$ における上限・下限は4隅の値$$x^2+2x,x^2-2,x^2,x^2-2x$$の最大・最小である。端は許されないので，上限・下限はいずれも到達しない。比較すると通過領域は$$\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x<y<x^2-2x& (x<-1),\\ x^2-2<y<x^2-2x& (-1\leqq x<0),\\ x^2-2<y<x^2+2x& (0\leqq x\leqq 1),\\ x^2-2x<y<x^2+2x& (1<x)\end{array}$$である。

(1) で得た係数領域を利用する。(2) の条件を $y-x^2=ax+b$ と見れば，右辺は開三角形上の一次関数であり，3頂点での値 $-2x,2x,-2$ の最小値と最大値の間を動く。

(1) 2根を $-1<s<0<t<1$ とおくと $a=-2(s+t),b=2st$ であり，$b<0,b-a+2>0,b+a+2>0$ を得る。逆にこれらは $h(-1)>0,h(0)<0,h(1)>0$ を表す。したがって係数領域は解法1で求めた，3頂点 $(-2,0),(2,0),(0,-2)$ をもつ開三角形である。

(2) 点 $(x,y)$ を通る条件を $${\displaystyle y-x^2=ax+b}$$ と書く。固定した $x$ に対し，右辺は $(a,b)$ の一次関数であり，開三角形の3頂点での値は ${\displaystyle -2x,2x,-2}$ である。この見方では，固定した $x$ ごとに係数平面を平行な直線で切り，その直線が領域を横切るかどうかだけを調べればよい。三角形は凸かつ連結なので，一次関数 $ax+b$ の値は最小の頂点値と最大の頂点値の間をすべて動く。ただし領域が開いているため両端の値は取らない。したがって直線が開三角形と交わるための必要十分条件は$$\min \{-2x,2x,-2\}<y-x^2<\max \{-2x,2x,-2\}$$である。

$x<-1$ では $2x<-2<-2x$，$-1\leqq x<0$ では $-2\leqq 2x<-2x$，$0\leqq x\leqq 1$ では $-2\leqq -2x\leqq 2x$，$1<x$ では $-2x<-2<2x$ である。よって解法1に示した4つの不等式を得る。大小が等しくなる $x=-1,0,1$ でも上の最小値・最大値の条件がそのまま使え，3本の境界曲線はすべて含まれない。