東大 2022年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線が原点を通る条件をまず式にする。接線の傾きは $2 t + a$ 、切片は $- t^{2} + b$ なので、原点通過から $t^{2} = b$ が出る。2本の接線の接点は $- \sqrt{b}, \sqrt{b}$ と表せ、垂直条件は傾きの積で処理できる。後半では、円の中心が放物線の軸 $x = - a / 2$ 上にあり、半径が接線に垂直であることを使う。中心から接点までの横方向のずれを傾き $m_{i}$ で表し、半径 $r_{i} = \sqrt{m_{i}^{2} + 1} / 2$ に直して半径比を解く。

解答

(1)
放物線 $C : y = x^{2} + a x + b$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とする。この点は $(t, t^{2} + a t + b)$ であり、この点における接線の傾きは $2 t + a$ である。したがって接線の方程式は $y - (t^{2} + a t + b) = (2 t + a) (x - t)$ すなわち $y = (2 t + a) x - t^{2} + b$ である。この接線が原点を通るための条件は $0 = - t^{2} + b$ であるから $t^{2} = b$ である。

2本の接線が存在し、接点の $x$ 座標が異なるためには $b > 0$ であり、2つの接点の $x$ 座標は、条件の順に $t_{1} = - \sqrt{b}, t_{2} = \sqrt{b}$ である。このとき2本の接線の傾きを $m_{1}, m_{2}$ とすると $m_{1} = a - 2 \sqrt{b}, m_{2} = a + 2 \sqrt{b}$ である。2本の接線は原点で垂直に交わるので $m_{1} m_{2} = - 1$ である。よって $(a - 2 \sqrt{b}) (a + 2 \sqrt{b}) = a^{2} - 4 b = - 1$ となり、 $b = \frac{a^{2} + 1}{4}$ を得る。

逆に、任意の実数 $a$ に対して $b = \frac{a^{2} + 1}{4}$ とおくと $b > 0$ である。したがって $t = \pm \sqrt{b}$ に対応する2本の異なる接線があり、その傾きの積は上の計算より $- 1$ である。ゆえに2本の接線は原点で垂直に交わる。したがって $a$ はすべての実数をとりうる。

(2)
(1)より $s = \sqrt{b} = \frac{\sqrt{a^{2} + 1}}{2}$ とおくと、 $t_{1} = - s, t_{2} = s$ である。放物線の軸は $x = - \frac{a}{2}$ である。

接線 $l_{i}$ の傾きを $m_{i}$ とする。すなわち $m_{1} = a - 2 s = a - \sqrt{a^{2} + 1}, m_{2} = a + 2 s = a + \sqrt{a^{2} + 1}$ である。このとき $m_{1} < 0 < m_{2}$ であり、また $m_{1} m_{2} = - 1$ である。

円 $D_{i}$ の中心を $O_{i}$ とする。 $O_{i}$ は軸 $x = - a / 2$ 上にあり、半径 $O_{i} P_{i}$ は接線 $l_{i}$ に垂直である。接点 $P_{i}$ の $x$ 座標は $t_{i}$ なので、 $P_{i}$ から軸までの横方向のずれは $t_{i} + \frac{a}{2} = \frac{2 t_{i} + a}{2} = \frac{m_{i}}{2}$ である。半径 $O_{i} P_{i}$ は傾き $- 1 / m_{i}$ の直線上にあるから、その縦方向のずれの大きさは $∣ - \frac{1}{m_{i}} \cdot \frac{m_{i}}{2} ∣ = \frac{1}{2}$ である。したがって半径 $r_{i}$ は $r_{i} = \sqrt{{(\frac{m_{i}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{m_{i}^{2} + 1}}{2}$ である。

条件 $r_{2} = 2 r_{1}$ より $\frac{\sqrt{m_{2}^{2} + 1}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{m_{1}^{2} + 1}}{2}$ である。両辺を2乗して $m_{2}^{2} + 1 = 4 (m_{1}^{2} + 1)$ を得る。ここで $m_{1} m_{2} = - 1$ だから、 $u = m_{1}^{2}$ とおくと $m_{2}^{2} = 1 / u$ である。よって $\frac{1}{u} + 1 = 4 u + 4$ すなわち $4 u^{2} + 3 u - 1 = 0$ である。因数分解すると $(4 u - 1) (u + 1) = 0$ であり、 $u > 0$ より $u = \frac{1}{4}$ である。 $m_{1} < 0$ なので $m_{1} = - \frac{1}{2}$ である。また $m_{1} m_{2} = - 1$ から $m_{2} = 2$ である。一方 $m_{1} + m_{2} = (a - 2 s) + (a + 2 s) = 2 a$ だから $2 a = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$ となる。したがって $a = \frac{3}{4}$ である。

別解

解法2

方針

原点を通る接線を $y = m x$ と置き、放物線との共有点方程式が重解をもつ条件から接線の傾き $m_{1}, m_{2}$ を主役にする。(2)では $m_{1} m_{2} = - 1$ を利用すると、半径比が正の傾き $m_{2}$ そのものに簡約される。

解答

(1)
原点を通る傾き $m$ の直線 $y = m x$ が $C$ に接するための条件は $x^{2} + (a - m) x + b = 0$ が重解をもつこと、すなわち $(a - m)^{2} - 4 b = 0$ である。よって2本の接線の傾きは $m_{1} = a - 2 \sqrt{b}, m_{2} = a + 2 \sqrt{b}$ である。直交条件 $m_{1} m_{2} = - 1$ より $a^{2} - 4 b = - 1, b = \frac{a^{2} + 1}{4} .$ 任意の実数 $a$ に対し $b > 0$ であり、傾きの積が負なので2傾きは相異なる実数である。したがって $a$ はすべての実数をとる。

(2)
傾き $m_{i}$ に対応する接点の $x$ 座標は重解 $t_{i} = \frac{m_{i} - a}{2}$ である。放物線の軸 $x = - a / 2$ から接点までの横の距離は $∣ m_{i} ∣ / 2$ 、半径は接線に垂直なので縦の距離は $1 / 2$ となる。よって $r_{i} = \frac{\sqrt{1 + m_{i}^{2}}}{2} .$ $m_{1} m_{2} = - 1$ かつ $m_{1} < m_{2}$ より $m_{1} < 0 < m_{2}$ である。 $q = m_{2} > 0$ とおくと $m_{1} = - 1 / q$ だから $\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{\sqrt{1 + q^{2}}}{\sqrt{1 + q^{- 2}}} = q .$ 条件 $r_{2} = 2 r_{1}$ より $q = 2$ 、したがって $m_{1} = - 1 / 2, m_{2} = 2$ である。2根の和 $m_{1} + m_{2} = 2 a$ から $a = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} = \frac{3}{4}$ を得る。

総評

放物線の接線条件を重解で処理する問題。目安時間は15分前後。駿台分析では、(1)は接点設定が多数派で、傾き設定の方が条件に直結する一方、(2)へ進めた答案は約1割とされる。傾きの積が負なら2根が相異なる実数であること、半径の縦成分が $1 / 2$ になることを明記する。

出典: 東京大学 2022年度第2次学力試験数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

方針

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東京大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系数学第1問